数学 幾何学

１．下図のように 直角三角形内に３つの正方形と３つの円 Ｏ１，Ｏ２，Ｏ３があり、各円はそれぞれを含む小直角三角形の内接円であり、Ｏ１，Ｏ３の直径の長さはそれぞれ９，４ である. 円Ｏ２
の直径の長さを求めよ.

この問題についてです。

大:中=中:小
が相似より、それぞれの円を含む三角形の間で成り立つから
O1の直径:O2の直径=O2の直径:O3の直径
が成り立ち、答えは6らしいのですが、
なぜ三角形の比と直径の比が等しいのですか？

三角形の比が二倍だった場合、円の比が1.5倍出ない事が直感的に理解できるのでしょうか

詳細な説明をよろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• 直感だけで話すと、三角形のそれぞれの辺の長さが二倍になった相似な三角形の内接円は直径が二倍なのではなく、面積が二倍になる可能性もあるんじゃないか
  と思ってしまいます
  
  この問題の解説には三角形の内接円は三角形が相似に二倍になれば、直径も二倍になるという事が自明なものとして書いてあったのですが、その直感がよく分かりませんでした

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/02 15:10

• 3.4.5cmの直角三角形の内接円の直径が2cmで
  6.8.10cmの直角三角形の内接円の直径は4cm
  というのは、面積と半径から導きだせると思うのですが、これを自明とするとはいささか疑問を感じます。
  この操作の結果、相似と内接円の関係性が分かるのであって自明ではないような気がするのです

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/02 15:46

• 証明がない場合、
  三角形の相似比が2:1→内接円の直径比2:1…①とします
  というのは論理的に飛躍してませんか？
  さらに、三角形が相似に拡大することによって僕たちが得られる情報は
  内接円の面積、直径、円周の長さが大きくなっているという情報だけであり、比の入り込む余地は証明なしには作られ得ないのであり、先程述べた①を直感のみ片付けてしまうのは根拠に乏しいと思います。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/02 16:29

• 少し認識に齟齬がありそうな気がしました。
  ①が成り立つのは当然なのですが、
  証明なしには使えるほど当たり前、つまり、内接円の半径とその三角形から導き出せる相似比に関するこの話題に触れないで使えるようなものでは無いはず
  という事です。
  
  証明などで、〜は自明であるので証明は省く
  とたまにありますが、その扱いは不当である
  という事が言いたかったのです
  紛らわしくてすみません。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/02 19:57

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/07/02 13:26

三角形に内接する円の中心から、三角形の頂点と三角形への垂線をひくと、6個の小さい三角形に分かれるけど、、、

これらもそれぞれ相似になるから。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/07/02 14:28

夫々の円が内接している辺で構成される 三角形は、

３つとも直角三角形になりますね。
そして、この直角三角形は、３つとも相似形であることも解りますね。
ですから、三角形の辺の比は、円の直径の比と 等しくなります。

＞三角形の比が二倍だった場合、円の比が1.5倍出ない事が直感的に理解できるのでしょうか

逆に聞きたい、「1.5倍」と云う数字は何処から出てきたの？
直感的に違うと思えませんか。

（例えば、直角三角形の辺が 3,4,5 ㎝であった時には、内接円の直径は 2㎝ですが、
２倍の 4,6,8 ㎝ にしたら、内接円の直径は 3㎝では 理に会いませんよね。
簡単な作図で確かめられると思います。）

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/07/02 15:31

＞面積が二倍になる可能性もあるんじゃないか

そんな可能性は、ありません。
三角形の辺の長さが全て２倍になれば、面積は必ず４倍になります。
一般の三角形では分り難いかも知れませんが、
この問題の様に直角三角形ならば、簡単に分りますよね。
ＮＯ２　で書いたように、3,4,5 ㎝の三角形の面積は 3x4÷2＝6㎠ 。
２倍の 6,8,10 ㎝ にしたら、面積は 6x8÷2＝24㎠ で、４倍ですね。

つまり、辺の長さが２倍になれば、内接円の直径は２倍になります。
そして、辺の長さが２倍になれば、三角形の面積と、円の面積は４倍になります。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2018/07/02 16:07

円は全て相似形です。

三角形の様に辺はありませんから、
直径（半径）で見るしかないですよね。
三角形の辺の相似比が2：1 ならば、
内接円の直径の比も 2:1 になるのは、明白なのでは。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2018/07/02 19:29

＞三角形の相似比が2:1→内接円の直径比2:1…①とします

＞ というのは論理的に飛躍してませんか？

飛躍しているとは思いません。
相似形である三角形の内接円の直径は、
三角形の辺の相似比と一致するのは明白な事です。
決して、直感で片づける事柄では無い筈です。

内接円の直径や円周が n 倍になれば、面積は n² 倍になる事も
明白な事実ですから、当然比の値も関係する事となるでしょうね。