多項式とはなんですか？

多項式とはなんですか？

質問者からの補足コメント

• この中だと何番が多項式に該当しますか？
  ① 1
  ② x
  ③ x + x
  ④ x(x + 1)
  ⑤ x² + x
  ⑥ sin(x)
  ⑦ sin(x) + cos(2)
  ⑧ sin(x) + cos(2x)
  ⑨ sin²(x) + cos²(x)
  ⑩ eˣ + 1
  ⑪ eˣ + log(x)
  ⑫ x + √x
  ⑬ x + 1/x
  ⑭ x + y
  ⑮ ∑ [k= 1, 3] kxᵏ
  ⑯ ∑ [k= 1, ∞] kxᵏ
  ⑰ x + x! (x ∈ N)
  ⑱ x + ∫[a, b] y dy
  ⑲ xʸ + 1 (y ∈ N)
  ⑳ x + 0

    補足日時：2018/08/25 14:04

No.1 回答者： ゆのわさびや 回答日時： 2018/08/25 08:05

＋や-で2つ以上の単項式を繋げたものです。

単項式
(例)＋3ab や、 -3x^y

多項式
(例)＋8x-5x や、 -3a-5a
などです。例の式だと、多項式は8xと-5xに分けることができます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

多項式は単項式を繋げたもの、では単項式とはなんですか？
eˣとかsin(x)とかも含みますか？

お礼日時：2018/08/25 14:07

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/08/25 08:53

プラスやマイナス記号で「1個以上」の項を繋げた式。

項とは定数や変数、あるいはそれらの積

高校までは単項式は項が1個、多項式は項が2個以上
ですが、大学数学の教科書では、

単項式　項が1個の特別な場合
多項式　 項が1個以上の式

と包摂的に定義することが多いです。そうでないと
多項式という言葉が、数学の中で非常に使いにくく
なってしまうからです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

多項式は項を繋げた式、では項とはなんですか？
eˣとかsin(x)とかも含みますか？

お礼日時：2018/08/25 14:08

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/25 10:35

数や文字だけの掛け算の形で表された式を単項式

この単項式の和として表される式を多項式と呼びます。
5x²
-3x
+1
などは単項式で、これらの和で表された式
(5x²+(-3x)+ 1=)5x²-3x+1
が多項式
多項式は、「整式」とも呼ばれます。

この回答へのお礼

以前にこのような質問（https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10680534.html）を投稿させてもらったのですが、回答者はいずれも17個と回答しているのですが、masterkotoさんはどのようにお考えですか？

お礼日時：2018/08/25 14:15

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/25 14:43

a0+a1x+a2x²+a3x³+・・・＋anx^n nは0以上の整数,anは実数・・・A

の形になっていれば多項式です
また、2文字ではx+yは多項式です。

この中ではっきり断定できるものは以下の（）が付いていない物
（）つきは私には断定はできないが、おそらく　と言うもの

① 1　単項式
② x　単項式
③ x + x　(=2xで単項式)
④ x(x + 1)　（展開して多項式）
⑤ x² + x　多項式
⑥ sin(x)　単項式でも多項式でもない
⑦ sin(x) + cos(2)　単項式でも多項式でもない
⑧ sin(x) + cos(2x)　単項式でも多項式でもない
⑨ sin²(x) + cos²(x)　単項式でも多項式でもない
⑩ eˣ + 1　単項式でも多項式でもない
⑪ eˣ + log(x)　単項式でも多項式でもない
⑫ x + √x　単項式でも多項式でもない・・・このような式は参考書に多項式でない物の例として載っています。
⑬ x + 1/x　単項式でも多項式でもない・・・このような式は参考書に多項式でない物の例として載っています。
⑭ x + y　多項式
⑮ ∑ [k= 1, 3] kxᵏ　(多項式・・・∑ [k= 1, 3] kxᵏ=x+2x²+3x³)
⑯ ∑ [k= 1, ∞] kxᵏ　不明・・・無限級数
⑰ x + x! (x ∈ N)　(多項式・・・x + x! (x ∈ N)=x+x(x-1)(x-2)・・・1を展開するとAに示した形になる）
⑱ x + ∫[a, b] y dy　(多項式・・・x+定数の形になる）
⑲ xʸ + 1 (y ∈ N)　(多項式・・・ややこしい書き方ですが、要はx^n+1という事ですから)
⑳ x + 0 　（単項式 ・・・=ｘだから）

一部良くわからない物もありますが、明らかな物だけでも
半数が多項式ではないようです。

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/25 15:03

no4訂正

③は(おそらく)多項式・・・(単項式)+(単項式）の形だから
⑯は　単項式とも多項式とも呼ばない・・・思い出しました：多項式は有限個の項の和
⑳は（おそらく)多項式・・・(単項式)+(単項式）の形だから
数や文字だけの掛け算の形で表された式を単項式
この単項式の和として表される式を多項式
という定義に当てはまらない物は、単項式、多項式とは呼べません

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/08/25 22:16

項は任意個数の変数の固定の整正数べきと任意個数の定数式の積

例 3xy^3、2πr、sin(π/2)x
sin(x)とか定数でない関数を含むのはだめ。また項の個数は有限とする
定義がー般的。

だが、数学には6法全書はないので、都度定義を示す必要有り。
Nが何の集合かさえ明確ではないよ。

高校辺りの定義では

③、⑤、⑭、⑮、⑱、⑲、⑳(Nは正の整数を仮定)

この回答へのお礼

集合Nは一般的に自然数の意味で使われていると思ったので、書く必要がないと思い、省略しました。
察してくれると思いましたが、この類の話をするときに文字の定義や文章の簡略をするのはよくありませんでしたね。

『sin(x)とか定数でない関数』とは、注目している変数が含まれている関数ということでしょうか？
例えば3xy³ のy は変数として扱っていると思うのですが、これは『y³は定数でない関数』になりませんか？
それとも、y は変数だが、注目していない変数は原則定数扱い。ということでしょうか？

また、『変数の固定の整正数べき』で"固定"とはどういう意味でしょうか？
注目している変数が関与していないということでしょうか？

お礼日時：2018/08/25 22:58

No.7 回答者： kowadasintarou 回答日時： 2018/08/27 21:01

➀➁は単項式。

➂は２ｘとなるので単項式。④は展開して⑤と同じ式になるのでどちらも多項式。⑥～⑬は単項式でも多項式でもない。⑭⑮は多項式。⑯は無限級数なので有限ではないということで単項式でも多項式でもない。⑰～⑲は多項式。⑳は０を足してもｘであることに変わりなし。だから最後にXになるので単項式。