Nagell-Lutzの定理について

計算機の使用も全然アリなので以下の条件を満たす多項式を求めて下さい。

f(x):=x^3+ax^2+bx+c,φ(x):=x^4-2bx^2-8cx+b^2-4ac,D:=-4a^3c+a^2b^2+18abc-4b^3-27c^2(fの判別式)に対して(a,b,cは整数)、F(x)f(x)+Φ(x)φ(x)=Dを満たす整数係数多項式F(x),Φ(x)を求めて下さい(F,Φの次数はそれぞれ3,2です)。

質問者からの補足コメント

• 

  または(環論などの)一般論からF,Φの存在を言う、のでも強いNagell-Lutzの証明にはなりますがそっちの方が大変そうです(多分そういう一般的解法はあると思います)。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/12 06:42

No.5 回答者： sichtbare 回答日時： 2018/07/13 20:04

No.4様　

互除法でよく見る形だったので試しにやってみました。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/13 14:26

No.3様<

お見事ってか、言われてみりゃ当たり前でしたね。

No.3 回答者： sichtbare 回答日時： 2018/07/12 19:35

ユークリッドの互除法で求まります。

F=3x^3 − ax^2 − 5bx + (2ab − 27c) ,Φ= −3x^2 − 2ax + (a2 − 4b)。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/12 14:09

No.1へのコメントについてです。

> それが大変

　あー、いや、すいませんね。どういうレベルの方のご質問なのか、分からんもんですからね。

　えーと、
　　F(x) = p x^3 + q x^2 + r x + s
　　Φ(x) = p x^2 + t x + u
としてF(0)f(0) + Φ(0)φ(0) を考えれば、
　　D = c s + ( - 4 a c + b^2) u
すなわち
　　(D - c s)/( - 4 a c + b^2) = u
です。てことは、Dを( - 4 a c + b^2)で割った商がu、(余り/c)がsとか、なんかそんなんじゃないかな、ということになる。実際に割り算すると
　　(D - (2 a b - 27 c)c)/(- 4 a c + b^2) = a^2 - 4 b
なので
　　s = 2 a b - 27 c
　　u = a^2 - 4 b
とすると丁度収まる。というわけで、定理が成り立つのであればs,uはこれだな。
　以上で、p,q,r,t,の４つの未知数に対して5本の方程式がある、という状態になったから、これに整数解があることが言えればめでたし、です。
　もちろん、これでもしんどいでしょうから、ま、がんばれ。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/10 13:26

多項式の恒等式。

Ffと-Φφをそれぞれxに関する６次の多項式で書けば、定数項以外については各項ごとの係数がどれも丁度同じである。で、定数項だけが残ってこれがDになる。つまり
　　Φ(x)=αx^2 + βx + γ
　　F(x) = Px^3 + Qx^2 + Rx + S
として、多項式 Ff+Φφ - D を作れば、どの項の係数も0、という条件から7個の方程式が得られ、7つの未知数α,β,…,Sが決まる。いやもちろん、未知数が全部整数だという条件を満たすかどうかの確認を要する。あとは頑張れ。
という話のようで。で、頑張れ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。それが大変なのです。

お礼日時：2018/07/11 17:47