圧縮性流体において、体積変化に伴うエネルギーの変化を取り入れると、ベルヌーイの定理が ∮dp/ρ＋1

圧縮性流体において、体積変化に伴うエネルギーの変化を取り入れると、ベルヌーイの定理が
∮dp/ρ＋1/2V^2+gz=一定
となるらしいのですが、なぜp/ρの項が積分の形となるのか教えてください！

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/11/13 00:51

オイラーの運動方程式を、定常流れを仮定して積分し、更に

非圧縮性としたものがベルヌイの定理です。

これを見る為に、次のHPに従って１次元の流れを考えます。
https://takun-physics.net/?p=3455

１次元のオイラーの運動方程式
∂v/∂t + v∂v/∂x= -1/ρ(dp/dx)　　　　　　　　（１）

定常状態なら∂v/∂t = 0 より、
v∂v/∂x= -1/ρ(dp/dx)　　　　　　　　　　　　　（2）

定常流れであるため、流速も圧力も空間にしか依存して
いないので、(2)式は全微分の形で
vdv + dp/ρ = 0 と書けます。
この式を積分すると
v^2/2 + ∫dp/ρ = C 　　　　　　　　　　　　　　　（3）
となります。
https://takun-physics.net/?p=3507

３次元に拡張し、重力の項を考慮すると次の様に成ります。
∮dp/ρ＋1/2v^2+gz=一定　　　　　　　　　　　　（４）

非圧縮性の仮定、ρ=一定、を入れればベルヌイの定理となります。
p/ρ＋1/2v^2+gz=一定　

つまり、本来は∮dp/ρなのが、非圧縮性の為にp/ρと成って
いるのです。