No.2ベストアンサー
- 回答日時:
で、それをやってみると...
所与の正数 a, E に対して |1/x - 1/a| < E となる x の範囲は、
不等式を同値変形して、(1 - aE)/a < 1/x < (1 + aE)/a.
E が十分小さいならば、a/(1 + aE) < x < a/(1 - aE) より
-(a^2)E/(1 + aE) < x - a < (a^2)E/(1 - aE).
区間 |x - a| < D がこの中に入るためには
D ≦ (a^2)E/(1 + aE) でなくてはならない。
これを満たす正数 D が a 非異存に存在することが一様連続だが、
lim[a→+0](a^2)E/(1 + aE) = 0 であるため、そうできない。
よって、1/x は (0,1) で一様連続ではない。
No.1
- 回答日時:
その記述は、一様連続であることの証明じゃなくて、
1/x は (0,1) で連続だけど、(0,1) がコンパクトじゃないから
一様連続じゃなくてもハイネ・カントールの定理に反しないからね
っていう.ダメ出しというか、雑談なのでしょう。
だって、定義域がコンパクトじゃないと一様連続でないなら、
[0,1] で連続な関数の定義域を (0,1) に制限したら
一様でなくなってしまうからね。そんなわけないでしょ。
1/x の連続が x=0 の近傍で一様でないことは、
やはり ε-δ で示さないとあかんと思います。
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