対偶の利用と背理法の利用

Question

対偶と背理法の使い方や違いがよくわかりません。
例えばa,b,cが自然数のとき、a2＋b2＝c2ならば、a,b,cのうち少なくとも１つは偶数であることを証明せよ。
などや、
√3が無理数であることを証明せよ。ただし、nを自然数とするとき、n2が３の倍数ならば、ｎは３の倍数であることを用いてよい。
などの問題です。
全くわからないので教えてください。お願いします。

wangwinf · Accepted Answer

対偶というのは、「ランドセルを背負っている人間は全て小学生である」というものを「小学生でない人間はランドセルを背負わない」のように、同じ意味のことをひっくり返して言っているだけです。ただ、数学ではひっくり返して言うほうが考えやすい場合が多いので対偶というものを使います。

それが背理法なのですが、これは証明したい事が考えにくい時、とりあえず証明したいことと反対のことを仮定してみると（ひっくりかえして言ってみると）簡単に式でかける、という時に使います。例えば、「a,b,cのうち少なくとも1つは偶数」これを考えるのは大変ですが、これの反対は「a,b,cは全て奇数」。こちらの方が考えやすいですよね。ということで、この問題の対偶をとると、「a,b,cが全て奇数なら、a2+b2=c2でない事を示せ」となります。（分かりにくかったら「a2+b2＝c2」のところにランドセルを背負っているを、「abcが全て奇数」のところに「小学生である」を当てはめてみてください。あっていることがわかるでしょう。）
あとは全て奇数ではa2+b2=c2にならないことを示すだけです。

無理数であるということを証明するのも、無理数であるというのは分かりにくいですが、反対の有理数であるというのは分数でかけるから式を立てられて分かりやすいですよね。

Ichitsubo · Answer

a2+b2=c2とあるのはa^2+b^2=c^2のことでしょうか。
コンピュータ上ではa^bがaのb乗を示します。

背理法は、そうじゃなかったらおかしいでしょ、と言う矛盾を指摘する方法です。
√３が無理数であることを証明するために
√３が有理数であれば矛盾が生じることを示し、
a,b,cのうち少なくとも一つが偶数であることを証明するために、
a,b,cの全てが奇数であるならば矛盾が生じることを示します。

grasshopper59 · Answer

背理法というのは、ある命題を証明するときに、
その命題の仮定を否定してみると矛盾が生じる事を導き出すことにより、
その命題が真であることを証明する証明法です。

ある命題の対偶というのは、元の命題と真偽が一致します。
元の命題が式に表すのが困難なときには、その対偶を式で表し、
真であることを証明すれば、元の命題も真である、という順序を踏む証明の仕方のことを言います。

と、こんなことを頭に入れて
参考ＵＲＬをどうぞ。

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004.htm

対偶の利用と背理法の利用

対偶というのは、「ランドセルを背負っている人間は全て小学生である」というものを「小学生でない人間はランドセルを背負わない」のように、同じ意味のことをひっくり返して言っているだけです。

a2+b2=c2とあるのはa^2+b^2=c^2のことでしょうか。

背理法というのは、ある命題を証明するときに、

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