対数尤度関数の求め方！教えてください！

Xをサイコロの目を表す確率変数とする。
サイコロは以下のように確率が歪んでいる。

Pr(X＝1)＝Pr(X＝3)＝Pr(X＝5)＝p1
Pr(X＝2)＝Pr(X＝4)＝Pr(X＝6)＝p2
3p1+3p2=1

ここで、p1=p2でなくてもよい。
このサイコロを独立にn回振った結果を{X1,…Xn}とする。

1) このデータに対する対数尤度関数をp1の関数として導出せよ。

2) p1の最尤推定量を求めよ。


どうかよろしくおねがいします！！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/04 21:11

＞ここで、p1=p2でなくてもよい。

って、p1=p2だったら「理想的なサイコロ」ですよ。
p1≠p2 だから「歪んでいる」んでしょう？

1) サイコロで、確率 p の目が、n 回試行して r 回出る確率は「二項分布」に従うので
　P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)
です。

従って、サイコロの目が {X1, X2, ･･･, Xn｝で起こる確率は、「奇数が x 回」のときには、

　L(p1;x) = nCx * (3p1)^x * (1 - 3p1)^(n - x)　　　　①

となります。これが尤度関数になります。

これから、対数尤度関数は
　log[L(p1;x)] = log(nCx) + x*log(3p1) + (n - x)*log(1 - 3p1)　　　　②


最尤推定量は、 L(p1;x) が最大になる p1 です。
①が極値をとるとき、②も極値をとるので、その必要条件は、
　d[logL]/d(p1) = x/p1 - 3(n - x)/(1 - 3p1) = 0
より
　x/p1 = 3(n - x)/(1 - 3p1)
→　x - 3x*p1 = 3n*p1 - 3x*p1
→　p1 = x/(3n)