
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
2nCn が √(2n) < P を満たす素数 P で割れる回数は 1 回以下である。
まず
2nCn = (2n)!/n!n!
の分子、分母が素数 P で割れる回数を求める。
分子の(2n)! が素数 P で割ることのできる回数は
∑[k=1→∞][2n/P^k] = [2n/P^1] + [2n/P^2] + [2n/P^3] + ……
であるが、P については
√(2n) < P ⇒ 2n < P^2
∴ 2n/P^2 < 1 ・・・・・(#)
となるから 2 以上の k については
[2n/P^2] = 0
∴∑[k=1→∞][2n/P^k] = [2n/P]
分母の n! が素数 P で割ることのできる回数は
∑[k=1→∞][n/P^k] = [n/P^1] + [n/P^2] + [n/P^3] + ……
であるが(#)より
n/P^2 < 1/2
であるから 2 以上の k については
[n/P^2] = 0
∴∑[k=1→∞][n/P^k] = [n/P]
したがって 2nCn が √(2n) < P である素数 P で割ることのできる回数は
[2n/P] - 2[n/P]
あとはこれが 1 以下であることを証明すればよい。ガウス記号の性質により
[n/P+n/P] ≦ [n/P] + [n/P] + 1
が成り立つ。したがって
[2n/P] ≦ 2[n/P] + 1
∴[2n/P] - 2[n/P] ≦ 1
No.3
- 回答日時:
> なぜ、最後は、引いたのでしょうか?[2n/P]ー2[n/P]の所です。
①-⑧はマスターしたんだろうが。
何を寝ぼけたこと言っている。そんなこともわからないなら最初からベルトラン・チェビシェフの定理なんかに興味を持つな。
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