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次の9問を解いていただけないでしょうか?ご教授下さい。すみませんが。途中なので、解いてくれたらまた貼ります。

「ベルトラン・チェビシェフの定理について。」の質問画像

A 回答 (3件)

2nCn が √(2n) < P を満たす素数 P で割れる回数は 1 回以下である。



 まず
  2nCn = (2n)!/n!n!
の分子、分母が素数 P で割れる回数を求める。

 分子の(2n)! が素数 P で割ることのできる回数は

  ∑[k=1→∞][2n/P^k] = [2n/P^1] + [2n/P^2] + [2n/P^3] + ……

であるが、P については

  √(2n) < P ⇒ 2n < P^2
  ∴ 2n/P^2 < 1 ・・・・・(#)

となるから 2 以上の k については

  [2n/P^2] = 0
  ∴∑[k=1→∞][2n/P^k] = [2n/P]

 分母の n! が素数 P で割ることのできる回数は

  ∑[k=1→∞][n/P^k] = [n/P^1] + [n/P^2] + [n/P^3] + ……

であるが(#)より

  n/P^2 < 1/2

であるから 2 以上の k については

  [n/P^2] = 0
  ∴∑[k=1→∞][n/P^k] = [n/P]

 したがって 2nCn が √(2n) < P である素数 P で割ることのできる回数は

  [2n/P] - 2[n/P]

 あとはこれが 1 以下であることを証明すればよい。ガウス記号の性質により

  [n/P+n/P] ≦ [n/P] + [n/P] + 1

が成り立つ。したがって

  [2n/P] ≦ 2[n/P] + 1
  ∴[2n/P] - 2[n/P] ≦ 1
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この回答へのお礼

なぜ、最後は、引いたのでしょうか?[2n/P]ー2[n/P]の所です。ご教授下さい。すみませんが。

お礼日時:2021/01/03 23:20

> なぜ、最後は、引いたのでしょうか?[2n/P]ー2[n/P]の所です。


①-⑧はマスターしたんだろうが。
何を寝ぼけたこと言っている。そんなこともわからないなら最初からベルトラン・チェビシェフの定理なんかに興味を持つな。
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自分でやる気なし?

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