確率密度関数の問題について教えてください

次の関数f(x)(xは実数)が確率密度関数であるとする.
ただし，kは正の実数である.
f(x）
＝｛0, (x<0)
x,(0≦ｘ≦k)
2x-k,(k≦x2k)
-3k+9k,(2k≦x≦3k)
0, (x>0)

①kの値を求めよ
②①で求めたkの値を用いて、次の問を答えよ
このf(x)を確率密度関数とするような分布関数Ｆ(x)を求め,Ｆ(X)のグラフを書け。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/15 20:57

No.3 です。

＞そしたら、Ｎｏ１の答えが正しいでしょうか？

自分で確認したらいかがですか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/15 20:10

No.2 です。

「お礼」について。

＞f(x）
＞=0, (x<0)・・・①
＞=x,(0≦ｘ≦k)・・・②
＞=2x-k,(k≦x<２k)・・・③
＞=-3k+9k,(2k≦x≦3k)・・・④
＞=0, (3k<x)・・・・・・・⑤

相変わらず④がこうなっているけど、本当にそうなのですか？
だったら
　= 6k
ですよ？

＞①と②は積分しなくでもいいのでしょう？

①と⑤ですか？　#1 には「ダミー」で積分するように書いていますよ？
結果として 0 を積分しても 0 ですが。

②だったら積分していますよ？

この回答へのお礼

ご指摘ありがとございます。
f(x）
=0, (x<0)・・・①
=x,(0≦ｘ≦k)・・・②
=2x-k,(k≦x<２k)・・・③
=-3ｘ+9k,(2k≦x≦3k)・・・④
=0, (3k<x)・・・・・・・⑤

④の-3kではなく3xでした。

そしたら、Ｎｏ１の答えが正しいでしょうか？

お礼日時：2021/01/15 20:26

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/15 19:47

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞f(x)が間違っていました。
＞
＞f(x）
＞=0, (x<0)
＞=x,(0≦ｘ≦k)
＞=2x-k,(k≦x<２k)
＞=-3k+9k,(2k≦x≦3k)
＞=0, (x>3ｋ)
＞
＞でした。

まだ「2k≦x≦3k」のところが間違ってますよ！

#1 に書いたのが正しいんでしょう？
だったら #1 にちゃんと正しい答が書いてありますよ。


＞グラフはどの点を結べばいいのでしょうか。

ちゃんと平方完成までしてあげているので、書けるでしょう？

0～3/2 の区間で「二次曲線（放物線）」で、

F(0) = 0
F(1/2) = 1/8
F(1) = 5/8
F(3/2) = 1

でちゃんとつながるはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
何度も申し訳ありません。

f(x）
=0, (x<0)・・・①
=x,(0≦ｘ≦k)・・・②
=2x-k,(k≦x<２k)・・・③
=-3k+9k,(2k≦x≦3k)・・・④
=0, (3k<x)・・・・・・・⑤

No.1についてf(x)が上の場合でもNo1が答えになりますか？
①と②は積分しなくでもいいのでしょう？

お礼日時：2021/01/15 20:02

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/15 15:58

なんか問題がおかしくないかい？

f(x) = 2x-k　(k≦x≦2k)
　　= -3x+9k,(2k≦x≦3k)
　　= 0 (3k < x)

なんじゃないの？

その前提で書きます。

①「確率密度関数」は、確率なので全定義域で積分すれば「１」にならないといけません。
　∫[-∞→∞]f(x)dx = 1
ということです。

これを計算すれば
　∫[-∞→∞]f(x)dx
= ∫[-∞→0]0dx + ∫[0→k]xdx + ∫[k→2k](2x - k)dx + ∫[2k→3k](-3x + 9k)dx + ∫[3k→∞]0dx
= [(1/2)x^2][0→k] + [x^2 - kx][k→2k] + [-(3/2)x^2 + 9kx][2k→3k]
= (1/2)k^2 - 0 + (4k^2 - 2k^2) - (k^2 - k^2) + [-(27/2)k^2 + 27k^2) - (-6k^2 + 18k^2)
= [1/2 + 2 + 27/2 - 12]k^2
= 4k^2
これが「1」に等しいので
　4k^2 = 1
k>0 より
　k = 1/2

②「分布関数」とは、-∞ ～ x までの「累積確率」の関数なので
　F(x) = ∫[-∞→x]f(t)dt
であり
x<0 のとき F(x) = 0
0≦ｘ≦k=1/2 のとき
　F(x) = 0 + ∫[0→x]tdt = [(1/2)t^2][0→x] = (1/2)x^2

1/2≦ｘ≦2k=1 のとき
　F(x) = 0 + ∫[0→1/2]tdt + ∫[1/2→x](2t - 1/2)dt
　　　= [(1/2)t^2][0→1/2] + [t^2 - (1/2)t][1/2→x]
　　　= 1/8 + x^2 - (1/2)x - (1/4 - 1/4)
　　　= x^2 - (1/2)x + 1/8
　　　= (x - 1/4)^2 + 1/16

1≦ｘ≦3k=3/2 のとき
　F(x) = 0 + 1/8 + ∫[1/2→1](2t - 1/2)dt + ∫[1→x](-3t + 9/2)dt
　　　= 1/8 + [t^2 - (1/2)t][1/2→1] + [-(3/2)t^2 + (9/2)t][1→x]
　　　= 1/8 + (1 - 1/2) - (1/4 - 1/4) + [-(3/2)x^2 + (9/2)x] - (-3/2 + 9/2)
　　　= 1/8 + 1/2 - (3/2)x^2 + (9/2)x - 3
　　　= -(3/2)x^2 + (9/2)x - 19/8
　　　= -(3/2)[x - (3/2)]^2 + 1

3/2 < x のとき
　F(x) = 0 + 1/8 + 1/2 + ∫[1→3/2](-3t + 9/2)dt + 0
　　　= 5/8 + [-(3/2)t^2 + (9/2)t][1→3/2]
　　　= 5/8 + (-27/8 + 27/4) - (-3/2 + 9/2)
　　　= 5/8 + 27/8 - 3
　　　= 1

グラフはご自分で。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
f(x)が間違っていました。

f(x）
=0, (x<0)
=x,(0≦ｘ≦k)
=2x-k,(k≦x<２k)
=-3k+9k,(2k≦x≦3k)
=0, (x>3ｋ)

でした。

これでもう一度教えて頂けたら助かります。
宜しくお願いします。

グラフはどの点を結べばいいのでしょうか。

お礼日時：2021/01/15 19:01