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命題P、Qが共に真のとき
PならばQは真ですか?(真理値表には真と書いてありました)
このとき、P⇔Qも真と言えますか?


あるいは
真理値表の意味は、PならばQが真のとき
P、Qが真でも問題ない
ということを言っているのでしょうか??

質問者からの補足コメント

  • P⇔Qが真であることに違いはないが、
    こう真ではないということですね。

      補足日時:2021/01/19 17:55

A 回答 (4件)

前の質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12154642.html
の No.3 でも少しだけ触れたのだが、君の混乱は
命題が真であることと述語が恒真であることをごっちゃにする
ことから生じているのではなかろうか。

命題P、Qが共に真のときは確かにP⇔Qも真で、それでいいのだが、
その話は命題P、Qが共に真であるときにだけしか言えてない
ことを忘れず、結果を拡大解釈しないようにしないと
前回の正方形と平行四辺形のような変な話が生じてしまう。
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この回答へのお礼

納得したと思います。

#1と2の方が書かれていることと違うように思いますが合ってますか?

お礼日時:2021/01/19 17:52

命題 P, Q がともに真なら


命題「PならばQ」は真
だよ. 「P⇔Q」は, それが「P と Q が同値」という意味なら真 (その他の意味ならどんな意味なのか書いてほしい).

「あるいは」以降は意味不明だな. 「問題ない」ってどういうこと? どういう状況のことを言っている?
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> 命題P、Qが共に真のとき



そのときには、
  P⇒Q(PならばQ)は真です。
  P⇔Q(PとQは同値。P≡Qとも書きます)は真です。
ついでに
  P∧Q(PかつQ)は真です。
  P∨Q (PまたはQ)は真です。
  P⊕Q (PとQの真偽は一致しない)は偽です。

これらはただの演算です。余計な意味は持っていません。

================

> PならばQが真のとき
> P、Qが真でも問題ない

 「問題ない」とはどういう意味なのか?おそらく、「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが真)は同時に充足可能だ」とおっしゃっているのだと思います。ならば、それは正しい。
 ある命題が「充足可能」というのは、そこに出てくるPだのQだのについて、それぞれに真か偽かを割り当ててみたときに、命題が真になるような割り当て方が存在する、という意味です。
 さて、「P⇒Q が真である」とは、真理値表に書いてある通り
  (a) Pが偽でQが偽である((¬P)∧(¬Q))か、または、
  (b) Pが偽でQが真である((¬P)∧Q)か、または、
  (c) Pが真でQが真である(P∧Q)
ということです。
 ですから、P⇒Q が真であって、同時にPが真でQが真である((c)の場合)、ということはありうる。言い換えれば、Pに真、Qに真を割り当てると、P⇒QとPとQがどれも同時に真になる。(これを「(P⇒Q)∧P∧Qが真になる」と言っても同じです。)つまり、「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが真)は同時に充足可能」だということです。

==============

 しかしながら、

>真理値表の意味は、

というところは誤りですね。
 なぜなら、P⇒Qの真理値表は
「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが真)は同時に充足可能である」
だけでなく、
「(PならばQ)と(Pが偽)と(Qが真)は同時に充足可能である」
「(PならばQ)と(Pが偽)と(Qが偽)は同時に充足可能である」
「(PならばQ)と(Pが真)と(Qが偽)は同時に充足可能でない」
ということも示している。
 これら全部を含めたものが、真理値表の意味するところだからです。
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お考えの通り、


命題P、Qが共に真のとき、P⇒Qは真です
命題P、Qが共に真のとき、Q⇒P も真ですから、
お考えのとおり、
P⇔Q も真です。

--
>PならばQが真のとき P、Qが真でも問題ない
問題ないです。

P⇒Q が真 から、 PもQも真が示せるという意味じゃないです。
P⇒Q が真 から、 PもQも真が否定できないということです。
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