数A論証の問題がまったくわかりません。

整数nについて、n3が奇数ならば、nは奇数であることを対偶を用いて証明せよ。
どうか、教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/12/12 23:49

＃１です。

訂正。元も命題の対偶は
「ｎが奇数であればｎ＾３は偶数」というのは誤りで、
正しくは「ｎが偶数であればん＾３は偶数」です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/12/14 21:34

No.3 回答者： ichiro_abe 回答日時： 2010/12/12 23:41

対偶は、命題「PならばQ」に対して[QでないならPでない」のことで、命題と同値になります。

つまり、命題を証明する代わりに対偶を証明してもよいということです。

今回の場合は、命題「3n（質問文のn3は3nのことですよね？）が奇数ならば、nは奇数である」に対して、
対偶は「nが偶数ならば、3nは偶数である」です。これを証明します。

整数をmとして、n=2mとする。
3n=3×(2m)=6m=2×(3m)
つまり、3nは偶数となる。

対偶が証明されたので、命題「3nが奇数ならば、nは奇数である」は証明された。

No.2 回答者： goemon00 回答日時： 2010/12/12 23:41

この手の問題の解き方。

ある命題とその対偶の真偽は一致する。なので対偶が真であることを証明すればその命題は証明できる。

ちなみにｎ３って３ｎとちがう？

この命題は「３ｎが奇数→ｎは奇数」

対偶ってのは、矢印の前後を入れ替えてそれぞれ否定すること。
今回は、入れ替えると
「ｎは奇数→３ｎは奇数」
否定（逆）は、奇数の逆は偶数やから
「ｎは偶数→３ｎは偶数」
これが対偶。
「ｎが偶数→３ｎが偶数」ってのはｎは整数やから当然。よって対偶は真。つまり命題は真。

解答としては

命題「３ｎが奇数→ｎは奇数」の対偶は「ｎが偶数→３ｎが偶数」。ｎは整数なのでこの対偶は真。
よって対偶より 整数nについて、n3が奇数ならば、nは奇数であることが示された。

お力になれましたか？

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/12/12 23:37

ある命題と、その対偶の真偽は一致することを利用します。

「ｎ＾３が奇数であればｎは奇数である」の対偶は
「ｎが奇数であればｎ＾３は偶数である」であり、これは真です。