ルート2が無理数であることを証明するのですが・・・
教科書には
ルート2が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから
1以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか?
ルート2をa/bとおくことができる →この部分が分かりません。
a=ルート2bより、aの2乗=2bの2乗となる。ー(1)
よってaの2乗は偶数。ならばaも偶数になるのでcを自然数として
a=2cと書ける。 →こうしなければならない意味ってなんですか?
よって2bの2乗=4cの2乗ー(2)
(1)、(2)より、bの2乗=2cの2乗 →こうなる理由を教えてください。
bの2乗は偶数。よってbも偶数。
ゆえにaとbは公約数2をもつことになるが、これはaとbが1以外に公約数をもたないとしたことに矛
盾する。したがってルート2は無理数。 →分からないです。
全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。長文失礼しました。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>背理法
>ルート2が無理数であることを証明するのですが・・・
>教科書には
>ルート2が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから
>1以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか?
これ以上約分できない分数(規約分数)で表すということです。
>ルート2をa/bとおくことができる →この部分が分かりません。
√2=a/b(a,bは互いに素な自然数)とおく。
……「互いに素」は「1以外に公約数を持たない」という意味です。
「互いに素」は、後で矛盾であることを示すために使います。
>a=ルート2bより、aの2乗=2bの2乗となる。ー(1)
上の式から、a=√2bを2乗して、a^2=2b^2 ー(1)
>よってaの2乗は偶数。ならばaも偶数になるのでcを自然数として
a^2=2×(自然数)の形だから、偶数。
「aの2乗は偶数 ならば aも偶数になる」は証明できます。
この命題の対偶を証明します。
対偶:「aが奇数 ならば a^2も奇数になる」が真である と言えれば、
元の命題も真になります。
[証明]
aは奇数だから、a=2n+1(nは整数)とおける。
a^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2・2n(n+1)+1より、
2n(n+1)は整数だから、a^2は奇数。
よって、対偶が真であるから、元の命題も真である。
>a=2cと書ける。 →こうしなければならない意味ってなんですか?
上の命題から、aは偶数だから、a=2c(cは自然数)と書ける。
>よって2bの2乗=4cの2乗ー(2)
(1)に代入して、(2c)^2=2b^2より、4c^2=2b^2 ー(2)
>(1)、(2)より、bの2乗=2cの2乗 →こうなる理由を教えてください。
(2)の両辺を2で割って、b^2=2c^2
>bの2乗は偶数。よってbも偶数。
b^2=2×(自然数)だから偶数。よって、さっきの命題より、bも偶数。
>ゆえにaとbは公約数2をもつことになるが、これはaとbが1以外に公約数をもたないとしたことに
>矛盾する。
aもbも偶数だから、公約数2をもつことになるから。
>したがってルート2は無理数。 →分からないです。
√2を、aとbが1以外に公約数をもたないような分数(有理数)と仮定したら、
aもbも偶数であるという矛盾が起きたから、
やっぱり、√2は無理数である。
>全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。
命題「aの2乗は偶数 ならば aも偶数になる」の証明の部分以外を上からつなげて書いていくと、
背理法の証明になると思います。
(証明法は決まりきっているので、流れを覚えてしまえばいいと思います。)
いろいろ書き込んで見にくいですが、意味を考えてみてください。
No.3
- 回答日時:
>1以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか?
例えば、14/10と書くより、約分して7/5と書く方が後の話がスムーズに進むからです。
>ルート2をa/bとおくことができる →この部分が分かりません。
有理数は分数で表わせることは理解されているのですよね。
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