すべて、ある、について

「すべて」の否定が「ある」、
「ある」の否定が「すべて」、
であるということが全くわかりません。フィーリングなんでしょうか？

おねがいします。

No.6 ベストアンサー 回答者： itshowsun 回答日時： 2013/01/19 20:29

おそらく言葉の問題でしょう。

そこで、言葉の意味を確認します。
すべて　→　∀　(all) これは問題なし
ある　　→　∃ (exist)　これは正確には「少なくとも一つある」という意味
よって、命題論理で考えると
A =「すべてのカラスは黒い」
この否定は
￢A = 「すべてのカラスは黒いということは真ではない」
　　= 「少なくとも一羽の（ある）カラスは黒くない」
が同じ意味となります。
また、
「すべてのカラスは黒くない」
は全否定と言って、この否定は、
B = 「すべてのカラスは黒くないということは真ではない」
　= 「少なくとも一羽の（ある）カラスは黒い」
すなわち、
￢B = 「すべてのカラスは黒くない」
となります。
上を述語論理で考えると
P(x) = 「ｘは黒い」
A = ∀xP(x)　「すべての x は黒い」
￢A = ￢∀xP(x) = ∃x￢P(x) = 「あるｘは黒くない」
B = ∃xP(x) 「あるxは黒い」
￢B = ￢∃xP(x) = ∀x￢P(x) 「すべてのｘは黒くない」
となります。
次のことは心に留めて置いてください：
「すべての～は・・・である」の否定は「ある～は・・・ない」
「ある～は・・・である」の否定は「すべての～は・・・ない」
つまり、「すべて」の否定は「ある」ではなく、
「ある」の否定は「すべて」ではない。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/19 14:52

「全ての x で P(x) が成り立つ。

例外はない。」の否定が
「P(x) には、反例 x がある。」だと言えば、解るかな？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/01/18 22:06

ある命題 A があって その否定が ￢A　なら

A または ￢A は常に真、A かつ ￢A は常に偽です。

つまり否定の関係のいうのは、どちらかが必ず真になり、
同時には真にならない関係なんです。ここが基本です。

これをもとに「全て～である」の否定がどうなるかを
もう一度考えてみてください。
「ある～」という表現がないと困ることがわかるはずです。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/18 20:19

「全ての x で P(x) が成り立つ」の否定が「P(x) が成り立たない x がある」。

たいへん素直な話だと思いますが…　どの辺が解らないですかね？

この回答への補足

すべてがなぜあるにいれかわるのかということです。

補足日時：2013/01/18 21:22

No.2 回答者： papabeatles 回答日時： 2013/01/18 20:19

全ての日本人は善人である。

の否定は一人の悪人を連れて来ればよいのです。
　その逆の日本人には悪人がいる。を否定するにはすべての日本人が善人であることを証明しないといけません。

No.1 回答者： princelilac 回答日時： 2013/01/18 20:15

数学の言葉は独特ですね。

「ある」は「一部の」の意味ですね。all に対して、a とか one of …、 some of … の関係ですね。西洋の数学を日本語に訳すと、おかしな言葉遣いになります。