ベルトラン・チェビシェフの定理について。

すみません。以下のURLの補題2.1 についてもう少し噛み砕いてご教授頂けると幸いです。
https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf

質問者からの補足コメント

• 

  なぜ、k≧25を考えるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

    補足日時：2021/02/25 15:56

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/26 20:18

訂正です

自然数k以下の素数の個数を求めるのです
k以下の自然数の個数1～kのk個だから
整数k以下の素数の個数は
k
以下
で1は素数でないから1を引いて
k-1
以下
で4以上k以下の偶数は合成数で素数でないから
[k/2]-1=(4以上k以下の偶数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)
以下
で6以上k以下の3の倍数は合成数で素数でないから
[k/3]-1=(6以上k以下の3の倍数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)
以下
で6以上k以下の6の倍数を2重に引いてしまったので
[k/6]=(6以上k以下の6の倍数の個数)
を加えて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]
以下
4は2の倍数ですでに引いてある
5は素数だからそのまま
5以外の5の倍数は合成数で素数でないから引く必要があるけれども
5*2=10は2の倍数ですでに引いてある
5*3=15は3の倍数ですでに引いてある
5*4=20は2の倍数ですでに引いてある
5*5=25はまだ引いていないので
1=[{25}の個数]
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]-1
以下
となるのです

ここで

k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]-1
≦k-1-(k/2-2)-(k/3-2)+k/6-1
=k/3+2

と
証明できるので
これ以上引く必要はないのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/26 20:16

自然数k以下の素数の個数を求めるのです

k以下の自然数の個数1～kのk個だから
整数k以下の素数の個数は
k
以下
で1は素数でないから1を引いて
k-1
以下
で4以上k以下の偶数は合成数で素数でないから
[k/2]-1=(4以上k以下の偶数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)
以下
で6以上k以下の3の倍数は合成数で素数でないから
[k/3]-1=(6以上k以下の3の倍数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)
以下
で6以上k以下の6の倍数を2重に引いてしまったので
[k/6]=(6以上k以下の6の倍数の個数)
を加えて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]
以下
4は2の倍数ですでに引いてある
5は素数だからそのまま
5以外の5の倍数は合成数で素数でないから引く必要があるけれども
5*2=10は2の倍数ですでに引いてある
5*3=15は3の倍数ですでに引いてある
5*4=20は2の倍数ですでに引いてある
5*5=25はまだ引いていないので
1=[{25}の個数]
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)-1
以下
となるのです

ここで
k≧25の時
π(k)
≦k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)-1
≦k-1-(k/2-2)-(k/3-2)+k/6-1
=k/3+2

と
証明できるので
これ以上引く必要はないのです

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/26 05:52

自然数k以下の素数の個数を求めるのです

k以下の自然数の個数1～kのk個だから
整数k以下の素数の個数は
k
以下
で1は素数でないから1を引いて
k-1
以下
で4以上k以下の偶数は合成数で素数でないから
[k/2]-1=(4以上k以下の偶数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)
以下
で6以上k以下の3の倍数は合成数で素数でないから
[k/3]-1=(6以上k以下の3の倍数の個数)
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)
以下
で6以上k以下の6の倍数を2重に引いてしまったので
[k/6]=(6以上k以下の6の倍数の個数)
を加えて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]
以下
4は2の倍数ですでに引いてある
5は素数だからそのまま
5以外の5の倍数は合成数で素数でないから引く必要があるけれども
5*2=10は2の倍数ですでに引いてある
5*3=15は3の倍数ですでに引いてある
5*4=20は2の倍数ですでに引いてある
5*5=25はまだ引いていないので
1=[{25}の個数]
を引いて
k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)-1
以下
となるのです
5n>25の場合は
k=25の時

25-1=24
24-([25/2]-1)=24-11=13
13-([25/3]-1)=13-7=6
6+[25/6]=6+4=10
10-1=9
9=#{2,3,5,7,11,13,17,19,23}
だから
引けないのです

この回答へのお礼

5n>25の場合は
k=25の時

25-1=24
24-([25/2]-1)=24-11=13
13-([25/3]-1)=13-7=6
6+[25/6]=6+4=10
10-1=9
9=#{2,3,5,7,11,13,17,19,23}
だから
引けないのです
ここをもう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/26 14:10

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/02/25 21:15

k≦24

の場合は

π(k)≦k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]-1

が

π(k)≦k-1-([k/2]-1)-([k/3]-1)+[k/6]

となってしまうからです

最後の
-1
は
「
25=5^2もまた合成数だから、それを差し引けば
」
として
25の場合を引いているのです

k-1=(2以上k以下の整数の個数)

[k/2]-1=(4以上k以下の偶数の個数)

[k/3]-1=(6以上k以下の3の倍数の個数)

[k/6]=(6以上k以下の6の倍数の個数)

-1=({25}の個数を引く)

この回答へのお礼

なぜ、25が出てくるのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/02/25 22:18