数学の文章問題の解き方(時計の針が追いつく時間)

Question

理解しやすいという数学の本を読んでいるのですが、頭が悪すぎてわかりません。「時計の分針が時針にいつ追い付くのか？」という問題なのですが、分針がt周する間に時針がt/12周する、まではわかります。しかしその後の、下線部、重なる時のtの値が、分針が時針よりもちょうど1周分多く進んだ値になる、というのがどうしてなのかわかりません。
時針が1周するには12時間掛かるので、
12時間よりも短い時間の中では、
分針(まだ1周してない)よりも1周多い値は常に2以下になるのでは？と思ったらもうわかりません、間違っていることは分かっていますがどうしたら正解になるのかがわかりません。教えて戴ける方お願い致します。

yhr2 · Accepted Answer

１～12時までの文字盤で、ある時刻に時針・分針が一致してから、次に一致するまでには、時針が「１時間」（円周の約 1/12）分だけ進む間に、分針は「１周 + 円周の約 1/12」だけ進むということでしょう。

回る角度でいえば
・時針：約 30° (+ アルファ）
・分針：360° + 約 30° (+ アルファ）

ありものがたり · Answer

「分針」「時針」という言い方は、
デジタル時計でないと読めなくなった世代への配慮なのかなあ...

長針と短針が文字盤上で同じ位置にくるのは、
０：００ からの長針の回転と短針の回転の
差が１周の整数倍になるときです。
回転の差は、0 から連続的に増えていくのだから、
それが最初に起こるのは、差がちょうど1周になったときですね。

八丁堀の旦那 · Answer

1日の中で分針が時針より多く回った回数を累積すると理解されているんだと思いますが、そうではありません。確かにその箇所に関しては不明瞭な文章です。
分針と時針が重なっている状態から次に重なったとき、分針は時針より1周多く進んだということです。
・分針は分針と時針が重なっていた位置までは進む必要があります。ここで1周多く進んでます。
・そこから、時針が進んだ位置まで進まなければなりません。ここは、分針と時針が同じだけ進んでいます。

masterkoto · Answer

解説文にあるような要領で
短針（先端）選手と、長針（先端）選手が
時計の数字が書かれている円の上のコースをマラソンしているところをイメージすればよいですよ。
両者とも12の位置をスタートしたとすれば（12時にスタートとすれば）
1時間後（1時）には長身選手はコースを1周して12の位置に戻ってきています
しかしこのとき短針選手はコースを1/12回転しかしていなくて時計の１の位置にいます！
この段階ではまだ長針は短針を周回遅れにしてはいませんから1度も両針が重なってはいませんが、短針選手が周回遅れになるのは間もなくのことです
5分後の1時5分では
長針選手は1の位置へ来ますが、短針選手は１よりわずかに先にいるので
まだ周回遅れにはされていません
でも、周回遅れにされるのは目前ですよね！
1時10分ではどうでしょう
まだ1時だいなので、短針は2に到達していませんが長身選手は②の位置に来ています
ということでこの時点では短針選手は周回遅れになっていますよね
1時5分過ぎから1時10分の前までに周回遅れにされてしまったという事です
周回遅れ＝1周の遅れ
なんで短針選手が長身選手に抜かされるその瞬間（両針が重なる瞬間）は
長針選手は短針選手よりちょうど1周多くコースを進んだことになるのです

角度でいえば　12時からスタートで1時では
短針は30°
長針は360°進んだことになりますよね
1時5分では
短針は360+30=390°
長針は　30°よりわずかに進んでいて大雑把に言って３1°くらいでしょうか
その差は390-31=359 で360度（1周の差）にわずかに届きません
1時10分では　長針は420°進んだことになり
短針は大雑把に32°くらいでしょうか
その差は　420-32=388°で360度を超えています
つまり360°＝1周の差　より大きな差がついたという事です
ということは
大雑把に1時7分ごろ両者重なり　その回転角度の差が360°（＝ジャスト1周分の差）になったはずです

このようなイメージをすれば
分針が進んだ距離＝時針が進んだ距離+1
⇔分針が進んだ角度＝時針が進んだ角度+360°
が理解できるかと思います

Zincer · Answer

＞分針(まだ1周してない)よりも1周多い値は常に2以下になるのでは？
分針ではなく時針ですよね？
おそらくピッタリ重なった瞬間をｔ＝０（スタート地点）としての話だと思いますが、次に重なるのは「２（周）以下」になるのは当然ではないですか。
別の解説をするならば、
重なった瞬間から１時間後、分針は１周して最初の位置に来ています。
その間に時針は１時間（1/12）の分先に進んでいますので、追いつくためにはもう少し進まなければいけないのです。
その時間をｔと置くと、既に分針は１周しているので
ｔ－1＝ｔ/12
と書いた方が解り易いでしょうか。
1＜ｔ＜２
つまり、１周してから２周までの間に必ず追いつくことになります。