定積分

x/(1+|x-1|)^5の-∞から∞の積分が分かりません。教えていただきたいです。

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/05/17 17:00

今は手が離せない。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/17 17:24

x/(1+|x-1|)^5=1/x⁴ (x≧1)

x/(1+|x-1|)^5=x/(2-x)⁵ (x≦1)

I=∫[-∞,∞] x/(1+|x-1|)^5 dx
=∫[-∞,1] x/(2-x)⁵ dx+∫[1,∞] 1/x⁴ dx
　=1/6+1/3=1/2

ちなみに
∫[-∞,1] x/(2-x)⁵ dx=∫[-∞,-1] -(u+2)/u⁵ du (u=x-2 と変換)
　=[1/(3u³)+2/(4u⁴)][-1,-∞]=-1/3+1/2+0+0=1/6

∫[1,∞] 1/x⁴ dx=[-1/(3x³)][∞,1]=1/3

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/17 17:26

｜ｘ-1｜がプラスになる区間とマイナスになる区間に分けて結果を足せばよいです。

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/17 17:27

(x-1) がプラスになる区間と、マイナスになる・・・

ですね、すみません。

No.5 回答者： HONTE 回答日時： 2021/05/18 11:26

ん～。

せっかく答えようとしたのに・・・。