積分の面積公式について |a|/6(β-α)^3 −1/6(β-α)^3 1/6(β-α)^3 この

積分の面積公式について

|a|/6(β-α)^3

−1/6(β-α)^3

1/6(β-α)^3

この3つの公式の違いが分かりません。どなたか教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/05/13 14:25

∫[α,β] (x-α)(x-β)dx = -(1/6)(β-α)^3. 　←[1]

この計算から派生して、

y = (x-α)(x-β) と y = 0 が囲む面積が α < β の場合に
∫[α,β] ｜(x-α)(x-β)｜dx = ∫[α,β] -(x-α)(x-β)dx = (1/6)(β-α)^3,　←[2]

y = a(x-α)(x-β) と y = 0 が囲む面積が α < β の場合に
∫[α,β] ｜a(x-α)(x-β)｜dx = ∫[α,β] -｜a｜(x-α)(x-β)dx = (｜a｜/6)(β-α)^3.　←[3]

でも、こんな式、公式暗記しちゃだめですよ。
現に混乱しているように、使うとき間違えるだけだから。
百歩譲って覚えるとしても [1] だけかな。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2023/05/11 20:56

こんな「ザコの公式」なんか覚える必要ありません。

定積分で面積を求める方法を知っていれば勝手に出て来る式ですから。

cf:私の高校の数学の先生に「公式を覚えてはいけない」「公式で問題を解いてはいけない」とずっと言っていた先生がいました。私もそうだと思います。

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/05/11 14:29

|a|/6(β-α)^3:

この公式は、積分区間 [α, β] における関数の面積を表します。関数の値が常に非負である場合、絶対値のない |a| を使用します。

-1/6(β-α)^3:
この公式は、積分区間 [α, β] における関数の面積を表しますが、結果が負の値となります。関数の値が常に非正である場合に使用されます。

1/6(β-α)^3:
この公式も積分区間 [α, β] における関数の面積を表しますが、結果は常に正の値となります。関数の値が正負の両方を取る場合に使用されます。

これらの公式は、関数の面積を求める際に使用され、積分区間の幅 (β-α) の3乗に比例して面積が変化することを示しています。絶対値の有無や符号の違いは、関数の値の正負や非負の範囲によって異なる結果が得られることを示しています。

具体的な関数や積分区間によって、どの公式を使用するかが異なる場合があります。関数の性質や積分区間の条件に合わせて、適切な公式を選択してください。