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f(x、y)=log(x²-2x+2y²+4)の極地候補を求め極大か極小か判定する問題が解けません。わかる方いたら教えてください。

gooドクター

A 回答 (1件)

まず、勾配を求める。


∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
  = ((2x-2)/|x²-2x+2y²+4|, 4y/|x²-2x+2y²+4|).
よって、∇f = (0,0) となるのは x = 1, y = 0 のときのみ。

この点での f のヘッセ行列 H は、
∂²f/∂x² = { (2)(x²-2x+2y²+4) - (2x-2)(2x-2) }/(x²-2x+2y²+4)²
    = -2(x²-2x-2y²-2)/(x²-2x+2y²+4)²,
∂²f/∂x∂y = (2x-2){ - (4y)/(x²-2x+2y²+4)² }
    = -8(x-1)y/(x²-2x+2y²+4)² },
∂²f/∂y² = { (4)(x²-2x+2y²+4) - (4y)(4y) }/(x²-2x+2y²+4)²
    = 4(x²-2x-2y²+4)/(x²-2x+2y²+4)²
より、 H =
  2/3  0
  0   4/3.

H が既に対角行列だから、固有値を求める手間は無くて、
固有値は両方正。よって、 f(1,0) は極小値である。
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