いつも簡単な問題ですいません；；対数の問題です

log2 10*log5 10-(log2 5+log5 2)
この問題なんですが・・・。
10も5も2もなんとかの何乗とかになるかなとか
考えてみたんですが解けませんでした＞＜
どなたかとき方を教えてください＞＜

No.1 ベストアンサー 回答者： 33550336 回答日時： 2008/02/22 17:12

底をそろえましょう。

No.3 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/22 20:21

とにかく底をそろえてやらないと。

底を何にしてもいいけど、式に出てこないような変な数字を底にするのも面倒そうだから、この問題なら、やはり底は 2 か 5 にするんでしょう。
例えば、底を 2 にそろえるとすると、底が 5 の log を底を 2 へ変換してやらないといけない。
で、底を a から b へ変換するときは loga X = logb X / logb a
だから、
log5 10 = log2 10 / log2 5
log5 2 = log2 2 / log2 5 = 1/(log2 5)　（∵ log2 2 = 1）
これを与式へ入れてやれば、
log2 10 × log5 10 - (log2 5 + log5 2)
= log2 10 × log2 10 / log2 5 - log2 5 - 1/(log2 5)
= { (log2 10)^2 - (log2 5)^2 - 1 } / log2 5
ここで、log2 10 = log2(2×5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5 だから、
= { (1 + log2 5)^2 - (log2 5)^2 - 1 } / log2 5
= { 1 + 2 log2 5 + (log2 5)^2 - (log2 5)^2 - 1 } / log2 5
= 2 (log2 5) / (log2 5)
= 2
ということで、底を 5 にそろえて、2 になるかどうか計算してみたら？

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2008/02/22 17:39

底は何でも良いので、省略します。

好みで、２でも３でも５でも入れて下さい。
また、式が長くなるので、ふたつに分けます。

　A=[log(2)10][log(5)10]
　B=[ {log(2)5}+{log(5)2} ]

　与式=A-B

A=[log(2)10][log(5)10]
=[log10/log2][log10/log5]
=[{ log2+log5}^2]/[(log2)(log5)]

B={log(2)5}+{log(5)2}
={log5/log2}+{log2/log5}
={(log2)^2+(log5)^2}/(log2)(log5)

A-B
=[{ log2+log5}^2－{(log5)^2+(log2)^2}]/[(log2)(log5) ]
=[2(log2)(log5)]/[(log2)(log5) ]
=2　　。