区間推定について

サンプルサイズ10、故障数1の時、
信頼度上限値:0.995, 信頼度下限値:0.606と書いている文献がありました。
これは、どのようような計算式で求めているのでしょうか。

サンプルサイズ50、故障数５の時は、
信頼度上限値:0.960, 信頼度下限値:0.801です

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/08/04 07:52

#1です。

二項検定（母比率の検定）の信頼区間の式を示します。
方法は２つあり、正規分布近似で行う場合とより厳密に行う場合ですが、ここでは厳密な式を示します。厳密な式で求めた値がご質問の数値と一致します。
ちなみに下に示す参考文献には、正規分布近似で行う式も出ています。

n = 10
p = 0.9
α = 0.1

n1 ＝ 2 * n * (1 - p) + 2 （＊は掛け算です）
n2 ＝ 2 * n * p
m1 ＝ 2 * n * p + 2
m2 ＝ 2 * n * (1 - p)

下限値：
p1＝ n2 / (n1 * F(n1, n2; α/2) + n2)

上限値
p2＝ m1 * F(m1, m2; α/2) / (m1 * F(m1, m2; α/2) + m2)


参考文献
上田拓治(2009)：『44の例題で学ぶ統計的検定と推定の解き方』，オーム社，p181


以下はRで確認した結果です。n＝50の場合を示しています。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

# 二項検定の信頼区間

n <- 50
p <- 0.9
a <- 0.1

n1 <- 2 * n * (1 - p) + 2
n2 <- 2 * n * p
m1 <- 2 * n * p + 2
m2 <- 2 * n * (1 - p)

# Lower

p1 <- n2 / (n1 * qf(a / 2, n1, n2, lower.tail = F) + n2)

# Upper

p2 <- m1 * qf(a / 2, m1, m2, lower.tail = F) / (m1 * qf(a / 2, m1, m2, lower.tail = F) + m2)

p1; p2

[1] 0.801167
[1] 0.9597634

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/08/04 10:45

#2です。

F分布を使った式がどのように導出されるか、興味があったので調べてみました。（私は厳密解があることは知りつつ、これまではRが示す数値を鵜呑みにしていました）
↓のホームページの第２章に参考文献が示されていました。それらの論文はちょっと手に入りそうにないですが、いつかは勉強しようと思いました。

http://fourier.ec.kagawa-u.ac.jp/~hori/delphista …

なお、このHPによると、ベータ分布を使った算出方法もあるようです。私は手元にある上田先生の本（#2で示した参考文献）のF分布を使う方法しか知りませんでした。ですので、ご質問者のおかげで大変勉強になりました。

さらに、刺激的だったのは、
『母比率の信頼区間の求め方にはいくつか近似法がある(Blyth,1986)が、簡単にパソコンを使える環境においてわざわざ近似法を用いる必要もないだろう。』と書いてある点でした。

未だに正規分布近似を持ち出し、それが是であるように語っている解説が多いですが（今回もヒットしたHPのうち大半は近似解）、PC環境が整った現代は、厳密解を知っておいた方が良いと思いました。

近似解は、統計ソフトが出す数値と一致しませんから悩みますよね。今回もそんなオチかなあと考えましたが、オチは「90％」信頼区間だったです。

この回答へのお礼

はい、正規分布近似式で計算して？？となってました。よく分かりました。

お礼日時：2021/08/04 22:47

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/08/04 03:37

企業で統計を推進する立場の者です。

二項検定で、90％信頼区間を求めているようですね。

以下はRでトライしてみた結果です。
90 percent confidence interval:のところの数値と一致しました。
（最初95％信頼区間だと考えて色々トライしてみても合わないので、どんな分布か、あるいはオッズ比か、と悩みました。）

もう夜遅いので、計算式は後日投稿します。

> binom.test(9, 10, conf.level = 0.9)

Exact binomial test

data: 9 and 10
number of successes = 9, number of trials = 10, p-value = 0.02148
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
90 percent confidence interval:
0.6058367 0.9948838
sample estimates:
probability of success
0.9

> binom.test(45, 50, conf.level = 0.9)

Exact binomial test

data: 45 and 50
number of successes = 45, number of trials = 50, p-value = 4.21e-09
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
90 percent confidence interval:
0.8011670 0.9597634
sample estimates:
probability of success
0.9

この回答へのお礼

ありがとうございます。R使ってみました。便利ですね。

お礼日時：2021/08/04 22:41