グラフの概形問題

以下の問題で悩んでいるので教えてほしいです．
概形自体はgoogleで検索することによってわかるのですが，それを求める式や増減表を教えていただきたいです．

今のところわかっているのが，yを一回微分したのですが，式は多項式/多項式となり，極値の候補が複数あるということが分かったくらいです．

質問者からの補足コメント

• Tacosanさん
  説明がわかりにくくてすいません．Tacosanさんが挙げてくれた4点のポイントのうち，x＝0に対する値，導関数とその零点から，間違ってたら申し訳ありませんが，極値はx＝±1となることまでわかったのですが，x→±∞での挙動がいまいち求めることがわかりません．やり方としては，lim[x→∞](2x/1+x^2)の計算をすればよいのでしょうが，その計算方法がわからなく，極値以降（x<-1,1<x）のグラフの概形がわからない状態となっております．

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/11/25 01:50

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/25 06:42

arctanの中味

f(x)=2x/(1+x²)は
df/dx=2(1-x²)/(1+x²)²

だから、fには-1に極小点が、+1に極大点があって
値は-1と1。原点と交差してて±∞でゼロに漸近

arctanは単調増加で原点を通りだいたいまっすぐだから
arctanf(x)は原点を通り
(-1, -π/4)で極小、(1, π/4) で極大、±∞でゼロに漸近

この回答へのお礼

わかりやすい説明をありがとうございました．いまだに逆関数については理解が浅く，自分がどの点で理解しきれてないのかを説明するのが難しかったため，計算手順を示してくれて本当に助かりました．

お礼日時：2021/11/25 08:48

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/11/25 02:29

参考になれば・・・

x→±∞での挙動は分母の方が大きくなるから「ゼロ漸近」ですね。

この回答へのお礼

わざわざグラフを作成していただきありがとうございます．大変参考になりました．グラフがあるおかげで理解が早まりました．

お礼日時：2021/11/25 08:50

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/11/25 01:09

具体的にはどこまでできていて何にどう困っているんだろう....

・x→±∞ での挙動
・x=0 に対する値
・x>0, x<0 での符号
・導関数とその零点
までは簡単にわかるはずだから, 「おおよその形」はわかるんじゃない?

この回答へのお礼

今回の問題におけるポイントを絞ってくださり，ほかの回答者様に対してわかりやすい説明ができました．ありがとうございました．

お礼日時：2021/11/25 08:52