期待値計算？

一回で1000人当たる懸賞で10回中一回しか当たらなかった時の応募者数の平均人数
の計算式を教えて下さい

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/20 07:30

10回中一回しか当たらないという事象が最頻値(MAP)になるということですか。

10回中一回しか当たらないという事象が平均値(EAP)になるということですか。

二項分布P(x=1|r=10,ｐ) がそのようになるｐの範囲を求め、その平均を取り、ｐ＝1000／n からｎを逆算すれば良いですが、上記の条件が不足しています。

No.2 回答者： qas2021 回答日時： 2021/12/20 07:56

n回目の応募人数を Nₙ とすると、貴方が知りたいのは

(N₁ + N₂ + … + N₁₀)/10
でしょうか。

調和平均との関係より

(N₁ + N₂ + … + N₁₀)/10 ≧ 10/(1/N₁ + 1/N₂ + … + 1/N₁₀)
= 10000/(1000/N₁ + 1000/N₂ + … + 1000/N₁₀)

n回目に当たる回数の期待値は 1000/Nₙ であるので、計10回だと

1000/N₁ + 1000/N₂ + … + 1000/N₁₀

となります。

10回中1回しか当たらなかったので、

1000/N₁ + 1000/N₂ + … + 1000/N₁₀ = 1

とすれば

(N₁ + N₂ + … + N₁₀)/10 ≧ 10000/1 = 10000

というところまでは推定できます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/20 12:09

当たりくじの数が1000本なら、応募者が N 人（1人１応募とする）なら当たる確率は「1000/N」です。

毎回の応募者が同じ N 人なら、毎回「p = 1000/N」の当選確率で10回の抽選が行われたことになります。

確率 p の事象を、n 回試行して r 回当たる確率は、「二項分布」なので
　P(n, r) = nCr × p^r × (1 - p)^(n - r)　　　①
になります。

そのときの当たる回数の期待値は
　E = np　　②
です。

上の条件で、「期待値が1回」だったとすれば、②で n=10, p=1000/N として
　1 = (1000/N) × 10
ですから
　N = 10000
ということになります。
毎回の当選確率が「1/10」だったということです。

ただし、あなたの質問文からは
「10回中一回しか当たらなかった」～ということは、毎回 1/10 以上の確率だった？　当選回数の期待値は2以上だった？
とか
「10回中一回しか当たらなかった」～それはどういう状況を意味しているのか？　たまたまあなたがそうだっただけか、300人に聞いたら250人がそうだったのか。
とか
「毎回の応募者が違うので、当選確率は毎回違っていた」
とか、いろいろな条件が「不明」です。

なので、上の回答はあくまで「一参考例」です。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/21 14:11

#1です。

10回中1回当選するという事象が「最頻値（最も多く観測される）」になるｐの範囲を調べました。

図は、ｐの値を変えたときに、当選回数分布がどうなるか調べたものです。各図の左から２本目の棒が10回中1回当選のケースです。それが最頻値になるのは、0.10～0.18の範囲らしいです。

そこで、さらに小数点以下第3位まで変化させて調べたら、0.091～0.181の範囲であると分かりました。その平均は0.136です。

ｐ＝0.136＝1000/n より、ｎ＝7352.941、約7353人であると計算できました。

ご参考まで。

No.5 回答者： qas2021 回答日時： 2021/12/21 20:41

No. 2 です。

まずは、少し補足を。

No.2 では、一人一口の応募で考えています。
また、1回の応募者数が1000人以下のとき、当たる回数の期待値は1となります。
したがって、計10回で当たる回数の期待値も変わりますが、その推定値が1であることには変わりがないので、推定値も変更ありません。


No. 4 さんの回答は、そんな考え方もあるのかと思い、参考になります。
正確に計算すると以下の通りになりますね。

₁₀C₀(1 - p)¹⁰ < ₁₀C₁p(1 - p)⁹
₁₀C₁p(1 - p)⁹ > ₁₀C₂p²(1 - p)⁸

を p について解くと

1/11 < p < 2/11

となるので、p がこの範囲で一様に分布すると考えて、平均が

(1/11 + 2/11)/2 = 3/22

逆数をとると 22/3。
これを1000倍して 22000/3 人 ≒ 7333人。


ただ、p の平均を使っているのが気になりますね。
1000/p の平均をとった方が良いのではとも思います。
こちらで計算してみると次の通り。

∫_[1/11, 2/11] (1000/p)/(2/11 - 1/11) dp
= 11000[log(p)]_[1/11, 2/11]
= 11000 log(2)
≒ 7624.6

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/12/21 21:32

#4です。

#5さんのおっしゃるように、人数の平均を取った方が良いですね。

私の感覚としては、「あなたは何回当選しましたか」という値を集計するときに、世間では平均で考える人は少なく、最頻値で考える人が多いと思いました。
私はおおかた7千数百人という人数が、現実味のある数値だと思います。