時間遅れをローレンツ変換から計算する

特殊相対論の時間遅れはよく知られている。この説明は直角三角形による方法とロー
レンツ変換によるものがある。後者については長く違和感があった(メラー、砂川氏)。

短縮は一般にローレンツ変換で計算しているのに、時間遅れを上の前者で計算すると
いうのも違和感がある。なお、ファインマンは触れていないようである(おかしい気が
するが、ちょっと見ただけなので)。

そこで以下の設定で、時間遅れをローレンツ変換から計算してください。

1.　一般的な設定で、慣性系S'は慣性系S系に対して +x方向に速度 vで移動する。
t=t'=0 で x=x'=0　である。

S系の座標 x=La に時計A、S'系の座標　x'=Lb' に時計B' が固定されている。これら
の時計はもちろん、各慣性系で時刻合わせがされている(同時性の定義)。つまり、B'
が t'=0 なら、Aも t=0 となる。

このとき、時計B'が t'=t' になったとき、時計Aの時刻 tはいくらか計算せよ。

質問者からの補足コメント

• 訂正。ファインマンには3角形による説明があった。ただ、アインシュタインの論文には無い。

    補足日時：2022/03/02 03:29

• この論法は砂川氏に乗っている（メラーもこの論法らしい?）。大体、t=γ(t'+vx'/c²)
  は S'系が基準である。なぜひっくり返すのか?

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/03/03 18:06

• 

  どうも題意自体が理解できないものがいるようだ。そこで話を簡単にしてみる。
  時計A,B' をそれぞれの慣性系の原点に置いたときの時間遅れの計算をしてくだ
  さい。

    補足日時：2022/03/04 10:26

• 

  やれやれ、どうなることかと思った。論理が通じない、計算できない
  ということはどうにもならない。

    補足日時：2022/03/04 18:57

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/02 18:17

ローレンツ変換の式に入れて

ｔ＝(ｔ’＋ｖｘ’/ｃ²)γ＝(ｔ’＋ｖLｂ’/ｃ²)γ、γ＝1/√(1－ｖ²/ｃ²)
になります。

この回答へのお礼

早速、ありがとうございます。
ただ、t'=0 のとき、時計B' は x=γ(Lb'+v・0)=γLb' の位置にあり
ますが、t'=t' 後では、さらに +x方向に移動し、x座標上で別の位置
の時計の時刻になります。

なお、よく知られたように、S'系で異なる座標x' に対するS系の時刻
は　t=γ(t'+vx'/c²) となり、t'が同じでも、異なります。

さらに、結論は時間遅れを導くことにあります。

お礼日時：2022/03/02 19:09

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/03 00:16

S’系のｘ’＝Lｂ’においてある時計がｔ’＝0からｔ’＝ｔ’を指す間に

S系の時間経過がS’系の時間経過のγ倍になるという結論になりますね。
これは時計B’がｔ’＝0のときに時計Aがローレンツ変換により
ｔ0＝γ（ｖLｂ’/ｃ²）を指すことから、先に出したｔから
ｔ－ｔ0＝γｔ’　です。

この回答へのお礼

前にも述べたように、この計算ではS系に固定された時計ではなく、
S系の各座標にある別の時計を次々読んでいます。さらに、時計は
遅れることが分かっていますが、この計算では進みます。

お礼日時：2022/03/03 07:34

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/03 16:12

ｔ－ｔ0＝γｔ’　でγ＞1だからｔ－ｔ0＞ｔ’

つまりS’系の時計がS’に対してｔ’進む間にS系の時計はSに対して
それより大きい時間進むからS系から見てS’系の時計は
遅れるというわけです。

この回答へのお礼

γ=2 とすると　t'=1[s] のとき、t=2[s] となって、進みます。

お礼日時：2022/03/03 17:52

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/04 00:08

>時計B'が t'=t' になったとき、時計Aの時刻 tはいくらか計算せよ

これだけの条件では無理
「なったとき」を決めるときに使う同時性を決める慣性系は
無数に存在する。
仮にS系とS'系に限定しても答えは２種類になる。
同時性を決める慣性系を一つに決めて初めて答えは一意になる。

「なったとき」は観測する慣性系により変わるのだ。

蛇足だけど直角三角形の説明は不正確で混乱を招くだけなので
ローレンツ変換行列だけに絞ったほうが無難。

この回答へのお礼

何の論理展開もせず結論だけ提示しても無意味だ。

>これだけの条件では無理<
>「なったとき」を決めるときに使う同時性を決める慣性系は無数に存在する。仮にS系とS'系に限定しても答えは２種類になる。
同時性を決める慣性系を一つに決めて初めて答えは一意になる。<

●意味不明だ。「同時性」とは何を言っているのかわかっているの
だろうか? 同時性とは１つの慣性系内の各座標の時計合わせのこと
だが、無数とは? まず、あなたの言う「同時性」の出典を挙げよ。

さらに、今は SとS'系の２つの慣性系の話だが。

>「なったとき」は観測する慣性系により変わるのだ。<
●わけがわからん。

>蛇足だけど直角三角形の説明は不正確で混乱を招くだけなので
ローレンツ変換行列だけに絞ったほうが無難。<
●これも何を言いたいか不明だが、ローレンツ変換の前に直角三角
形の説明があったりするが、ローレンツ変換導出後なら何の問題も
ない(y方向は短縮しない)。

お礼日時：2022/03/04 06:15

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/04 07:18

>●意味不明だ。

「同時性」とは何を言っているのか
>わかっているのだろうか?

簡単だ。以下の図はS'系の時空をS系から眺めたもの。
相対論の教科書には必ず載っている。
#S系のt=0、x=0とS'系のt'=0、x'=0が
#同一事象になる設定

縦線が同時を表すが、S'系の同時の世界線をS系
からみると傾いてみえる。

空間的に離れた2つの事象が「同時」かは
どちらの世界線を採用するかで異なる。

時空図ではA(s系で動かない物体)の世界線は水平な線になる。
B(S'系で動かない物体)は図の水平から少し傾いた線に沿って進む。
Bのt′の位置から「同時」の世界線を引いてAの世界線と交わった
ところが答えだが、S系の同時とS'系の同時のどちらの世界線
を採用するかで答えが異なる。

この回答へのお礼

なるほど、同時性というのは同時の相対性の話でしたか。
正確に言わないとね。

それが、t' における時刻 tを求める問題と何の関係がある
のか。題意に戻って議論して下さい。「これだけの条件で
は無理」とか言っても話にならない。

まさか時間遅れは計算できない、というのだろうか?

あなたの言う、ローレンツ変換「行列」? を使って計算せ
よ。

お礼日時：2022/03/04 07:35

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/04 08:32

じゃ2パターンで計算してみよう。

t'=t′とかくのはあんまりなので
t'=p としときましょう。

ローレンツ変換行列書くの面倒なので
図の行列を
a b
c d

とすると、S系の同時を採用するなら
BのS系での時刻がそのままtなので
t=ap+bLb′
でおしまい。

S'系の同時を採用すると、
AのS'系の世界線は、ローレンツ変換の逆行列が
a -b
-c d
になることを利用すると
AのS'系での時刻はt′は

t'=at-bLa

これがpになる時なので

t=(p+bLa)/a


時間経過のみに注目すると

S系の同時採用では
AのΔt=a×BのΔt'

S'系の同時採用では
AのΔt=(1/a)BのΔt'

となって、双方から他方の時計が遅れて見える
というお馴染みの結果になる。

この回答へのお礼

そりゃ計算ではなくローレンツ変換を書いたもの。

前に述べたように、その式の tは S系に固定された時計ではなく、
x軸を次々に移動して、x軸に並んだ別の時計読んでいる。という
ことが理解できないのだろうか? (そして、時間進みになる)

とぼけないで、時間遅れを計算してくれ。それとも不可能という
のだろうか。

お礼日時：2022/03/04 08:50

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/04 10:11

>前に述べたように、その式の tは S系に固定された時計ではなく、

>x軸を次々に移動して、x軸に並んだ別の時計読んでいる。という
>ことが理解できないのだろうか? (そして、時間進みになる)

「S系に固定された時計ではなく」は意味不明ですが、
t は S系の全空間に散在する時刻合わせされた
全ての時計を使って、最寄り時計がBを観察するってことですよね。
アインシュタインの論文の冒頭で述べられている部分なので
良く知ってます。

私の示した計算はもちろんこれを含んでいますし、
それを前提に導出されたのがローレンツ変換です。

教科書通り計算結果なので、後は好きにしてください。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/04 10:42

>時計A,B' をそれぞれの慣性系の

>原点に置いたときの時間遅れの
>計算をしてください。

別に変わらないよ。La=Lb′=0だから
t'=p のとき

Sの同時性採用→ t=ap
S'の同時性採用→ t=(1/a)p

aは所謂γのこと。

お馴染みの双方から相手の時計が遅れてみえる
というやつです。

この回答へのお礼

t=apからどうして t=(1/a)p　となるのかしら。多くの書籍に
書いてあることだが。くどいが、あなたの「同時性」ってなんだ。

tはAの時計ではないということは置いといて(理解できないらし
いので)。

お礼日時：2022/03/04 14:21

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/04 15:40

>tはAの時計ではないということは置いといて(理解できないらし いので)。

Aの固有時はAがS系の中で静止している限り
S系の全時計と同期しているので
記号をわけなかっただけ。

>あなたの「同時性」ってなんだ。

NO5の説明を見よう。
時空図の同時を表す世界線が全て。

>t=apからどうして t=(1/a)p　となるのかしら。

口ーレンツ変換での計算は示しました。
NO5の2種類の同時の世界線を元に
2種類の結論を導いてます。

ガレージのパラドックスも同様に導けますよ。

まあ数式と文章だけではわかりにくいので、
ここにある時空図をじっくり見てほしい。
https://www.nakamuri.info/mw/index.php/%E7%BE%8E …

古い本だが、同時性はこの本がしつこいくらい詳しい。
https://www.amazon.co.jp/%E6%99%82%E7%A9%BA%E3%8 …

この回答へのお礼

同時性の説明すらできないのか。どうにもならない。

全然説明になってない。t=γt' はS'系の時刻 t'はS系の時刻で
t=γt'>t' 、進みになる。

t=γt' から　t'=γt が出てくる証明・計算がない。ただ、言葉
だけだ。

それに、ローレンツ変換と言っているのに、時空図を出したり、
はてはガレージのパラドックス、一般相対論ですかぁー・・・。

いずれにせよ、言葉でなく計算せよ。

お礼日時：2022/03/04 18:19

No.10 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/04 18:34

＜時計A,B' をそれぞれの慣性系の原点に置いたときの時間遅れの

計算をしてください。＞
S’系からみてB’がｔ’＝ｔ’になったときS系から見たAのめもりｔは
ローレンツ変換から
ｔ＝γ(ｔ’＋V・0/ｃ²)＝γｔ’になります。γ＝1/√(1－ｖ²/ｃ²)
また
S系から見てAがｔ＝ｔになればS’系から見たB’のめもりｔ’は
おなじローレンツ変換の表式から
ｔ＝γ(ｔ’＋Vｘ’/ｃ²)と０＝γ(ｘ’＋Vｔ’)よりｘ’を消去して
ｔ’＝γｔになります。
つまりお互い相手の時計が遅れて観測されます。

この回答へのお礼

正解です。

もう少し説明すると、S'系でt'となった時、時計Aのある、Sの原点
は x'=-vt'　の位置に移動しています。つまり、S'系で時計Aの座標
は、変化していますので、この位置での S系の時間は
t=γ(t'+vx'/c²) に代入したものになります。

正確には　t=t'/γ<t' で遅れ。同様に S系から見るとS'系の時計は
t'=γ(t-vx/c²) になり、時計BのS系の座標は x=vt となるので
t'=t/γ<t と、これも遅れとなります。

以上のように、単にローレンツ変換しただけでは別の時計を読んで
いることが理解できたでしょうか。

そして、メラー、砂川氏など今も複数の人が間違った説明をしてい
ます。なお、苦しいのか固有時(時間遅れが分かってからの概念)を
引用したり、わけのわからない説明があるので合わせて注意が必要
です。

お礼日時：2022/03/04 18:55