① 「フーリエ級数展開の式の初項は a0/2 でも a0 でもどちらでもよいのです a0/2 として

①
「フーリエ級数展開の式の初項は
a0/2
でも
a0
でもどちらでもよいのです

a0/2
としているのは

n=1,2,3,…
に対して
an=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx
と求めているから
これに合わせて
a0=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(0x)dx
としているため
a0/2
となるのです」

a0=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(0x)dx
から
a0/2が導かれたのでしょうか？
どうやってa0/2が出てきたのでしょうか？


②
「{1,cosx,sinx,…}からフーリエ級数展開を導くのではありません
f(x)からフーリエ級数展開を導くのです
f(x)
から
n=1,2,3,…
に対して
an=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx
bn=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx
で
n=0に対しては
a0={1/(2π)}∫_{-π～π}f(x)dx
とすれば

f(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…

となるのです」
n=0の時になぜa0は{1/(2π)}∫_{-π～π}f(x)dxになるのでしょうか？また、a0={1/(2π)}∫_{-π～π}f(x)dxからどうやってf(x)=a0+a1(cosx)+b1(sinx)+…
の式を作ったのでしょうか？




最後に質問が4つあるのですが、
1,画像の式を展開すると「」の中のような計算になるのでしょうか？...①

2,画像の式とCk = (1/N)∑[m=0→N-1] fm･e^(-jkmωD) (k = 0, 1, 2, …… , N-1)...②は形が違いますが、同じ式ですか？仮に同じ場合は画像の式と②が一致する事を証明して頂けないでしょうか？

3,①が正しい場合(N/2)²+(N/2)²=N²/2は「」の中のどのあたりを指しているのでしょうか？
「」内に(N/2)²+(N/2)²=N²/2が見当たらず(N/2)²+(N/2)²=N²/2なしで計算したのかなと考えています。

4,奇数行と偶数行をわける部分が(N/2)²+(N/2)²=N²/2を指すのかなと考えています。(合っていました。)
要はN個の奇数行とNこの偶数行を2で割って奇数行と偶数行合わせてN個にした事まではわかるのですが。
しかし、なぜ2で割ったのかわかりません。


「
Ck = (1/N)∑[m=0→N-1] fm･e^(-jkmωD) (k = 0, 1, 2, …… , N-1)...②
ω = 2π/T = 2π/ND、j は虚数単位

と定義したものを

N･Ck = Xk = ∑[m=0→N-1] fm･e^(-jkmωD) (k = 0, 1, 2, …… , N-1) ･････(#)

と書き変えたものに過ぎない。DFTを高速フーリエ変換FFTに変えるにはバタフライ演算というややこしいものを理解しないといけない。はっきり言って掲示板でチョコチョコ説明できるようなものではない。
離散フーリエ変換は、数学者の書いたフーリエ解析の本にはまず載っていないので、信号処理関係の本を探して勉強されたい。

W^(km) = e^(-jkmωD) として N = 4 のとき(#)を展開すれば
X0 = f0･W^0 + f1･W^0 + f2･W^0 + f3･W^0
X1 = f0･W^0 + f1･W^1 + f2･W^2 + f3･W^3
X2 = f0･W^0 + f1･W^2 + f2･W^4 + f3･W^6
X3 = f0･W^0 + f1･W^3 + f2･W^6 + f3･W^9
となるがW^(km)の性質から
X0 = f0･W^0 + f1･W^0 + f2･W^0 + f3･W^0
X1 = f0･W^0 + f1･W^1 - f2･W^0 - f3･W^1
X2 = f0･W^0 - f1･W^0 + f2･W^0 - f3･W^0
X3 = f0･W^0 - f1･W^1 - f2･W^0 + f3･W^1
と簡単になる。しかし、これでも16回の掛け算が必要なのは変わらない。そこで上の式を奇数行と偶数行に分け
X0 = f0･W^0 + f1･W^0 + f2･W^0 + f3･W^0
X2 = f0･W^0 - f1･W^0 + f2･W^0 - f3･W^0
X1 = f0･W^0 + f1･W^1 - f2･W^0 - f3･W^1
X3 = f0･W^0 - f1･W^1 - f2･W^0 + f3･W^1
ここからは上の展開式を行列で表さないとわかりにくいのだが、メンドーなので省略する。とにかく上のように行を入れ替えると
X0 = W^0(f0+f2) + W^0(f1+f3)
X2 = W^0(f0+f2) - W^0(f1+f3)
X1 = W^0(f0-f2) + W^1(f1-f3)
X3 = W^0(f0-f2) - W^1(f1-f3)
のように8個の掛け算だけで済むように変形できる。これがバタフライ演算であり、FFTがDFTより速い理由である。」

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  質問に載せた画像とここに載せた画像も形が違うだけで同じ式だと思うのですが、
  仮に同じ場合は質問に載せた画像とここに載せた画像が一致するまでを証明して頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/03/18 14:56

• 画像の赤い下線部の式が青い下線部の式になるまでの過程の計算を教えて頂けますでしょうか？

  
    補足日時：2022/03/18 14:57

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2022/03/19 08:43

Fourier 級数というのは，ある直交関数列で関数を表現したもの。

そのためには直交条件を定義しないといけないから，当然，対象とする問題・課題ごとにある種の内積が定義されていないといけない。直交性はその内積で示すことができる。そして直角座標の場合は多くの場合，三角関数がその直交関数列になる。そのとき，定義した内積でノルムを算定すると，sine, cosine のノルムと 1（つまり cos 0）のノルムが２倍異なることから，そのa0/2 などという表現のところになるだけのこと。公式として認めるのではなく，直交関数列とその内積というきちんとした数学的観点から係数を求めれば自明な結論になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すなわち、内積の定義(都合に合わせた内積の式の形)次第で正規直交基底でも非正規直交基底でも普通の基底からでも正しいフーリエ級数展開が導けるわけでしょうか？

出来れば4の質問と「正規直交基底以外の非正規直交基底や直交基底や普通の基底からでもフーリエ変換、逆フーリエ変換、離散フーリエ変換、逆離散フーリエ変換や高速フーリエ変換の式は導けるのでしょうか？」に答えて頂けるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します

お礼日時：2022/03/19 09:59