連続型期待値の和について

2変数の連続型期待値E(X,Y)の和について、
E(X＋Y)=∬(x+y)f(x,y)dxdy=∬xf(x,y)dxdy+∬yf(x,y)dxdy
=E(X)+E(Y)が成り立ちますが、(積分範囲は(-∞,∞)です)
なぜ∬xf(x,y)dxdy=E(X)、∬yf(x,y)dxdy=E(Y)のようにできるのかが分かりません。
(直感的にはなんとなくで理解は出来るのですが、きちんと論証しようとすると分からずモヤモヤしている状況です)
実際、
E(X＋Y)=∬(x+y)f(x,y)dxdyにおいては
E(X)=∫xf(x)dx、E(Y)=∫yf(y)dyの形だと思うのですが、素直に計算しては積分の過程でf(x,y)→f(x)、f(y)には持っていけないと思うんです。
こんな感じで説明下手くそで申し訳ないのですが、ご教授頂けますと幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/25 22:52

＞E(X)=∫xf(x)dx、E(Y)=∫yf(y)dyの形だと思うのですが

２変数関数 f(x, y) であればそうはなりません。

E(X)=∫xf(x)dx が「すべての y に対して」ということであるためには、y 全体で積分しないといけません。
「特定の y の値に対して」ということでは E(X) になりませんから。

同様に E(Y)=∫yf(y)dy が「すべての x に対して」ということであるためには、x 全体で積分しないといけません。

なので、
　∬xf(x,y)dxdy=E(X)、∬yf(x,y)dxdy=E(Y)
ということになります。
分かりにくければ
　∫[∫xf(x,y)dx]dy=E(X)、∫[∫yf(x,y)dy]dx=E(Y)
と考えればよいと思います。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます！
Yの範囲(Xの範囲) への考慮が抜けてたのかもです。
取り急ぎ自分の中で納得できたので助かりました！

お礼日時：2021/10/26 09:09

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/26 19:03

＞ 素直に計算しては積分の過程でf(x,y)→f(x)、f(y)には持っていけないと思うんです。

いや、単に f(x) = ∫f(x,y)dy, f(y) = ∫f(x,y)dx だってだけの話だよ。
「周辺確率密度」についてググってみ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
周辺密度に関する理解がまだ足りなかったようです。
納得できたので助かりました。また困った時はご教授頂けると幸いです！

お礼日時：2021/10/26 21:48

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/10/25 23:56

X と Y に対する同時確率密度を f(x, y) とするとき, X に対する周辺確率密度 p(x) は

p(x) = ∫ f(x, y) dy
になる. 一方で X の期待値 E[X] は
E[X] = ∫ xp(x) dx
だから, 両方をあわせれば二重積分になる.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
周辺確率密度でまずYを(Xを)固定するところから Y全体を(X全体を) という考えが無かったです。
取り急ぎ自分の中で納得できたので助かりました！！

お礼日時：2021/10/26 09:13