有界な無限数列は収束する部分列をもつ a(n)＝ｰ1^n みたいな振動する有界な無限数列の部分列って

有界な無限数列は収束する部分列をもつ

a(n)＝ｰ1^n みたいな振動する有界な無限数列の部分列ってなんですか……？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/20 13:19

a(n) = ｰ1^n は、定数列 -1 です。

a(n) = (ｰ1)^n と言いたかったんですかね。

部分列とは、数列の添字を一部に制限したもののことです。
質問の例で言えば、 a(偶数) とか a(4の倍数) とかは 1 に収束しますし、
a(奇数) とか a(素数) とかは -1 に収束します。

部分列が収束する話は、収束概念で直接説明すると技巧的になるので、
集積を経由して説明するほうが直感的かと思います。
集積の定義↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D …
大雑把な話、集合の点が、ある点の近傍に無限に集まっているのが集積点です。
集積を経由すると、数列の収束は、数列の値域が唯一の集積点を持つこと
として定義されます。

有界な無限集合は集積点を持たざるを得ないのですが、
その個数が1個なら収束するし、
収束しない場合にも、集積点が１個だけ含まれるように
値域の部分集合を取れば、取った部分列は収束していることになります。

この回答へのお礼

それです！a(n) = (ｰ1)^nでした、、！

集積点の解説までありがとうございます(T_T)
かんっっっっっぺきに理解できました…！超スッキリです、毎度毎度ほんとにありがとうございます！

お礼日時：2022/06/22 08:14

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 10:09

a(n)=(-1)^n

の部分列
b(n)=a(2n)=(-1)^(2n)=1
は
1に収束する

この回答へのお礼

昨日の

lim(n→∞) (ｰ1)^2n ＝1

とセットで理解できました！ありがとうございました(T_T)！

お礼日時：2022/06/22 08:11