微分積分の円錐の体積についての問題がわからないです。

微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。

半径a, 中心角θの扇形の紙で円錐があるとし、底面の半径rをa,θで、体積Vをa,θを用いて表す問題。また、Vが最大となるθの値を求める。
一応r,Vの問題は自分で解いてみましたがあっているかわかりません。
r=aθ/4π。V = {a^4 θ^2 (16π^2 -θ^2)}/{3*16*16π^3}

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。Vが最大となるθの値を求めるには、Vをθで微分して増減を調べてVが最大のときのシータの値を見ればいいんでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/16 20:35

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/16 20:51

V=(a³/24π²)θ²√(4π²-θ²)

　V'=(a³/24π²){2θ√(4π²-θ²)+θ²(-2θ)/{2√(4π²-θ²)}
　　={(a³/24π²)/√(4π²-θ²)}{2θ(4π²-θ²)-θ³}
　　={(a³/24π²)/√(4π²-θ²)}θ(8π²-3θ²)

V'=0 → θ=0 or θ=2π√(2/3)

V'の増減表から　θ=2π√(2/3)で、Vは極大。V(0)=0, V(2π)=0
だから、θ=2π√(2/3)で、

最大 V=(2π/9√3)a³

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/16 18:26

aθ=2πr → r=aθ/2π

円錐の底面の面積S、高さhとすると
　S=πr²=(aθ)²/4π
　h=√(a²-r²)=a√(1-θ²/4π²)

　V=Sh/3={(aθ)²/12π}a√(1-θ²/4π²)=(a³θ²/12π)√(1-θ²/4π²)
　　=(a³θ²/24π²)√(4π²-θ²)