すべての実数xに対して
x(4乗)ー4p(3乗)x+12≧0
が成立するような実数pの範囲を求めよ 

という問題がわかりません
どなたかわかりやすく解説お願いします。            

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A 回答 (3件)

f(x)=x^4-4p^3x+12が常に≧0であればよい。


つまりこれの最小値が0以上であればよい。
f'(x)=4x^3-4p^3=4(x-p)(x^2+px+p^2)
f'(x)=0となるときx=p

  x│ …   p   …
f'(x)│ -   0   +
f(x)│減少 -3p^4+12 増加

f(x)の最小値は-3p^4+12で、これが0以上だから、
-3p^4+12≧0, p^4-4≦0, (p^2+2)(p^2-2)≦0,
ところでp^2+2は常に正だから、p^2-2≦0
したがって、-√2≦p≦√2
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございました。回答がわかってすっきりしました★☆

お礼日時:2005/04/02 12:25

x(4乗)をx^4と書きます。


y=x^4-(4p^3)x+12 のグラフが常にx軸より上にあるようなpを求めればよい。
f(x)=x^4-(4p^3)x+12 としてこれを微分してf(x)の増減表をかいて 最小値≧0 としてやれば良い。
ちょっとやってみたら、x=p のときf(x)は最小値 12-3p^4 になるようです。
12-3p^4≧0 の不等式を解くと -√2≦p≦√2
確かめてください。
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この回答へのお礼

確かめました。回答ぴったり合いました。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/02 12:37

f(x) = x^4 - 4p^3x + 12として、



f(x)を微分してf(x)のグラフを描いて、

そのグラフが常にx軸より上にくるpの範囲を求めて下さい。
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この回答へのお礼

そうやって考えればよいのですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/02 12:34

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