「数列が無限大に発散するならばその任意の部分数列も発散する」という証明がありますが、 {an}＝ ･

「数列が無限大に発散するならばその任意の部分数列も発散する」という証明がありますが、

{an}＝ ･a(2n-1)＝(-2n)∧n
･a(2n)＝0

とすると、
anは上にも下にも有界でない(＝発散)となるが、
部分列a(2n)は0に収束(≠発散)ですよね…？

「数列が無限大に発散するならばその任意の部分数列も発散する」は偽 ということですか、、？

質問者からの補足コメント

• 前者も後者もネットやテキストに載っていて何がなんなのかわからなくなってます…

    補足日時：2022/07/31 10:46

• このことから、
  
  「数列が無限大に発散するならばその任意の部分数列も発散する」
  
  の証明はどこかしらが間違っているのではないか？と思いました。(そしてその「どこ」かが分からないので質問をしました。もしくは私の勘違いかもしれないので、それも指摘していただくために質問しました。)
  
  写真が見づらければ言ってください。
  これ以上言葉で分かりやすく説明は難しいです…

  
    補足日時：2022/07/31 11:32

• ああ……！大変申し訳ございません、部分列a(2n)の所をanと書いていました……

  
    補足日時：2022/07/31 11:34

• なるほど、、、！！！！
  項が進むにつれて、正と負を繰り返してはいるが、絶対値がどんどん増えてくから勝手に無限大に発散と思い込んでいました…！
  けどこれは正と思ったら負、負と思ったら正 を繰り返してるから「正の無限大に発散」とも「負の無限大に発散」とも言えないで振動ってなるのか……！！！！
  正⇒負⇒正･･･は振動。数3でしたね……情けない、、
  
  ありがとうございました！！

    補足日時：2022/07/31 12:18

• すみません、もう一つだけ気になったので、、！
  振動する数列の部分列⇒収束 とは言いきれませんよね？

    補足日時：2022/07/31 12:19

• 有界なら部分列が収束 ボルツァーノワイエルシュトラスのやつか！！！

    補足日時：2022/07/31 12:53

• 

  ･正/負の無限大に発散⇒部分列も同じく。
  ･収束⇒部分列も収束。
  ･振動したとしても「有界」⇒部分列は収束。
  
  ここまで
  理解出来ました。
  
  
  今、振動かつ有界でない場合がごちゃごちゃになっています。
  例えば、(-1、0、1、0、-2、0、2･･･)のような数列は、
  絶対値はどんどん大きくなり有界にはなりませんが、
  正と負どちらかに発散という訳でもなく、振動し続けます。
  このような場合は「無限に発散とは言えない」で合ってますか？
  そして、この数列に関してはa(2n)＝0 となるように、部分列は収束しますが、
  「上にも下にも有界ではないが振動する数列の部分列は収束する」
  と言ってよろしいでしょうか？(自分で証明とか挑戦してみましたが私には分かりませんでした……(´；ω；｀))

    補足日時：2022/07/31 13:07

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/02 20:10

a(n)=(-1)^n

は有界で振動する
a(n)それ自身もa(n)の部分列だから
部分列
a(n)=(-1)^n
も振動する

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/01 03:35

>･振動したとしても「有界」⇒部分列は収束。

有界かどうかはこの際どうでもいい。
「部分列」が自身を含むことを考えれば

・振動する数列→
部分列は収束したり、
正の無限大に発散したり
負の無限大に発散したり
振動したりする。

は明白。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/31 21:36

言葉の使い方が (悪い意味で) 「いい加減」になっていることに気づいてほしい.

たとえば
「上にも下にも有界ではないが振動する数列の部分列は収束する」
のところ, 「無限列」の「部分列」は当然「無限に存在する」よね? では, ここでいっている「部分列」ってどういうもの? 「無限に存在するあらゆる『部分列』が収束する」というのか, それとも「無限に存在する『部分列』のうち (少なくとも) 1つは収束する」なのか, あるいはそれ以外なのか, どれ?

それから, 定義上「元の列それ自体」も部分列だよ.

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/31 12:36

いいえ、言えます。

振動する数列も収束しないので、発散と言いますが、「無限大へ」
ではないので、有界であれば、収束する。

なお、nと0を交互に繰り返す数列は0に収束する部分列があります
が、これも定義から、無限大に発散する数列ではありません。

この回答へのお礼

なるほど、有界なら、部分列は収束。！

有界先程示したanは、
正/負の無限大に発散ではないが、
有界でも無いですよね？絶対値はどんどん増えていくので、、(テキストにも上にも下にも有界でないと書いてありました)

お礼日時：2022/07/31 12:53

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/31 12:03

発散には3種類有って

①正の無限大に発散する
任意の実数 R に対して，ある N が存在して，n≧N なら a_n≧ Ra

②負の無限大に発散する
任意の実数 R に対して，ある N が存在して，n≧N なら a_n≦ R

③振動する
上の2種類の発散ではないが、a_nが収束しないもの全部

あなたの持ち出してるのは③
つまり定義を間違えてる。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/31 11:52

その数列は発散する(つまり、収束しない)が、∞に発散する

わけではない。

無限大に発散するとは
∀M>0 , ∃N>0, n>M → a[n]>M
のことを言う。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/31 11:17

{an}＝ ･a(2n-1)＝(-2n)∧n

･a(2n)＝0

一体全体、何のことなのかな?
標準語で話してください。

この回答へのお礼

分かりづらくて申し訳ございません。
今から紙に書いて補足で説明します。(テキストだと大変なので)

お礼日時：2022/07/31 11:27