なぜ？

無限級数を求めるとき、各項を入れ替えてはいけないのは何故ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/07/24 19:02

絶対収束する級数であれば項の順序によらず同じ結果が得られますが, 条件収束する場合や発散する場合には項の順序によって結果が異なります. 例えば

log 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
ですが, これは項の順序を適切に入れ替えることにより任意の値に収束させることができます. 実際, 次のようにできます:
a_i = 1/(2i-1), b_i = -1/(2i) とおく. 目標値を c とし, 中間和 S_i をおく (S_0 = 0). p = q = 1 とする.
S_i < c なら S_(i+1) = S_i + a_p とし p を 1 だけ増やす.
S_i >= c なら S_(i+1) = S_i + b_q とし q を 1 だけ増やす.
このように数列 { S_n } を作るとその極限 lim(n→∞) S_n = c であり, かつ全ての a_i, b_i は正確に 1回だけ現れます. つまり上の log 2 とは項の順序が異なるために違う値に収束してしまいます.

No.1 回答者： yoikagari 回答日時： 2006/07/24 18:25

足し方によって値が変わってしまうことがあるからです。

たとえば無限級数
S=1-1+1-1+・・・
を考えます。
かっこのとり方で
S=(1-1)+(1-1)+・・・=0+0+・・・=0
S=1+(-1+1)+(-1+1)+・・・=1+0+0+・・・=1
と、足す順番を変えただけで値が変わってしまうのです。

この回答へのお礼

数学を詳しく知らないのですみませんが、さらに質問させていただきます。それはどうして起こるのでしょう。根本的には両者とも同じものを足しているわけですよね？

お礼日時：2006/07/24 18:53