以下の命題を証明してください。

二つの正項級数ΣanとΣbnがあるとしよう。適当な正数α, β>0が存在し、有限個の項を除いた全ての自然数に対して不等式αan<bn<βanが成り立つとき、二つの級数は同時に収束するか発散する。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2017/03/13 23:05

「二つの級数は同時に収束するか発散する」ってのは以下の４つが全部成り立つということ：

(1)「Σanが収束するならΣbnも収束する」
(2)「Σbnが収束するならΣanも収束する」
(3)「Σanが発散するならΣbnも発散する」
(4)「Σbnが発散するならΣanも発散する」
これらのうち、(1)と(3)は簡単でしょう。
　で、「正数γ, δ>0が存在し、有限個の項を除いた全ての自然数に対して不等式γbn<an<δbnが成り立つ」。（∵γ=1/β, δ=1/αがその実例。）
だから、(1)と(3)が証明できれば、(2)と(4)も自明になる。