Calculus - Convergence and Divergence

現在アメリカの大学で微分を取っているのですが、いまいち理解できない点があります。

たとえば教科書によると

lima->∞ an が存在する際は　convergence であり、それ以外は（例えば∞）の場合は divergence だというものです。

しかし一歩で、Test for Divergenceという定理で、lima->∞ an が　０　以外はdivergenceというもので、矛盾しているような気がします。

そもそも、このConvergenceとDivergenceというものは何なのでしょうか？また、グラフィック電卓でどちらかか判断することは可能なのでしょうか？（例えば計算式からグラフをひいて判断するなど

よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/10/09 16:01

「数列」の収束はいいよね? lim(n→∞) an が α に収束するというのは, (ε-δ を使うと) 任意の正の ε に対し適当な N が存在し, すべての n > N に対して |an - α| < ε となる, ということ.

「級数」Σ an に対してはその第 n 部分和 Sn = a1 + a2 + ... + an を考え, 数列 { Sn } が収束することを持って級数 Σ an が収束する, と定義します.
と書いたけど, よく考えたらそんなの教科書に書いてあるだろうに.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/10/09 13:58

Test for Divergence の方で「Σ」が付いていることに気付きませんか?

前者は sequence = 数列についての, 後者は series = 級数についての話です.

この回答への補足

回答ありがとうございます。

すいません、質問の仕方が悪かったです。
SequenceとSeriseのconvergenceの違いは何なのでしょうか？
といいますか、そもそもconvergenceとは何の状態を意味するのでしょうか？

お手数をかけますが、よろしくお願いします。

補足日時：2008/10/09 14:16

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/10/09 12:46

可能なら, その辺の文章を一字一句そのまま書いてもらえるとありがたい.

特に Test for Divergence.

この回答への補足

If lim n->∞ an exists, the sequence converges. Otherwise the sequence diverges.

が最初の定理です。

The Test for Divergence:

If lim n->∞ an does not exist or if lim n->∞ an is not 0, then the serise Σn=1 an is divergent.

しかし仮にlim n->∞ anが2の場合、存在するわけで最初の定理には当てはまります。しかし0ではないので答えはDivergentでした。
もしかしてseriseとsequenceでの区別かと思いましたが、わかりません。

あと、そもそも数学的にconvergenceとは何か教えていただけたら幸いです。

以上です。よろしくお願いします。

補足日時：2008/10/09 13:02