![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?8acaa2e)
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
No.5での誤解の訂正
oshiete_goo記述の中で,No.3 kusakabe66さんのご回答に対する一部誤解がありましたので,お詫びして訂正します.
kusakabe66さんの方針は,
「x->∞での処理について,積分区間1->∞について,-[1/(3x^3)]
で上から評価できる」というところまでは全く正しく,筆者の記述
>積分区間を1~∞から0~∞にしてしまうと,-[1/(3x^3)] はx->0でのとき発散するので,置き換えないほうが正しいです.
(No.5引用)
の中の”0~∞にしてしまうと”は誤解で,積分区間をさらに変えたわけではなくて,kusakabe66さんのタイプミスで
>x=0とx=∞を入れると -(0-1)=1 収束
となってしまったようで,
x=1とx=∞を入れると -(0-1/3)=1/3 収束
が意図だったんですね.失礼しました.
これにあと0~1の議論を加えることになります.
No.6
- 回答日時:
念のためさらに補足
判断基準としてよく使われるのは,
x->0のとき,1/x (と同じか, )より速く∞に発散すれば(x^s でs≦-1),積分も発散.そうでないとき積分は収束.
x->∞のとき,1/x よりも速く0に収束すれば(x^s でs<-1),積分も収束,そうでなければ積分は発散(s≧-1).
ちなみに,ちょうど1/xの時は,x->0もx->∞も,有名なlog発散(対数発散)でしたね.
No.5
- 回答日時:
No.3,4の補足的アドバイス
この手の問題のポイントは
1)下端x->0に伴う収束・発散をどう処理するか.
2)上端x->∞に伴う収束・発散をどう処理するか.
でしょう.収束するときは上から収束する積分で評価し,発散するときは下から発散する積分で評価して示すという方針になります.
模範解答はnubouさんが示されたとおりです.典型的な問題なので,解答の趣旨を十分理解されることをおすすめします。
ただ,解答にいたるまでが多分問題なのでしょうから,多少説明を加えますと,下調べ[1),2)での収束・発散の見極め]が大事で,先に結論(見極め)があって,次にそれを示す具体的評価を考えるという順序です.
アイデアとしては,2)の処理の前半はkusakabe66さんのご説明どおりのような評価になるでしょう.このセンスが大事です.
ただし,積分区間を1~∞から0~∞にしてしまうと,-[1/(3x^3)] はx->0でのとき発散するので,置き換えないほうが正しいです.また,1)での処理は別途必要です.
そこでNo.4のように,x=1で分割して,それぞれを評価...となるわけです.繰り返しになりますが,典型例なので,このような例をいくつか勉強されると感じ(評価の方法等)は分かってくると思います.
No.4
- 回答日時:
∫(0≦x<∞)dx・|1/(x^4+1)|<
∫(0≦x≦1)dx・1/(0+1)+∫(1<x<∞)dx・1/(x^4+0)=
1+∫(1<x<∞)dx・x^(-4)=4/3<∞
よって積分は絶対収束する
No.3
- 回答日時:
大雑把に考えてみました
分母はx^4+1ですよね。
まず
x^4<x^4+1
逆数にして
x^(-4)>(x^4+1)^(-1)
これはx→0でも成り立つから常に成り立つ。
ここで1/x^4の0から∞での積分は、x=0で発散するので積分区間を1から∞とすると積分結果は
-[1/(3x^3)]
x=0とx=∞を入れると
-(0-1)=1 収束
∫x^(-4)dx>∫(x^4+1)^(-1)dx
なので
∫(x^4+1)^(-1)dxも収束
……いくらなんでも雑に考えすぎてますかね(^^;
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 画像の広義積分の収束発散を調べたいのですが、比較判定法によって調べることはできますか? 3 2022/08/31 22:10
- 数学 収束と集積点の関係 2 2022/06/23 12:03
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:19
- 数学 微分積分の微分方程式についての問題がわからないです。 2 2022/07/18 17:44
- 数学 積分に関しての質問です。 写真の青丸で囲った部分はどうして積分区間がx0→xからy0→yに変わってい 2 2023/05/01 13:36
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
- 数学 t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、 6 2022/11/21 22:59
- 建設業・製造業 検査済証のない建物にエレベーターを増設する計画について 3 2022/04/22 14:49
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
シグマの問題なのですが。
-
何をもってしていってますか? ...
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
数学の問題です
-
ラプラス変換後のsの意味って何...
-
極限の問題
-
数列の極限について
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
1/n^2と1/n^3の無限和の問題を...
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
limの問題
-
極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))...
-
単調増加
-
ニュートン法で解が収束しない
-
Σ_[n=1,∞]1/nは発散?
-
高校数学の初歩的な質問ですが(...
-
不動点反復法を用いた数値計算...
-
”有界閉区間”という言葉
-
現代の解析学と言えば複素解析...
おすすめ情報