ランダウ理論と熱力学の整合性について

熱力学では、自由エネルギーは下に凸であると学びます。
一方で、ランダウ理論のように
F = -aX^2 + bX^4, (a,b>0, Xは示量変数）
のような凸性を破っている自由エネルギーを考える「熱力学もどき」の理論も存在します。
しかしなぜかこの理論はうまくいっています。
なぜこの理論がうまくいくのか、うまくいく理由を熱力学で説明できるのか、が知りたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/08/28 18:13

考えてる体積をVして、擬似自由エネルギーをF*(X,V)と書く事にすると、

F*とXとVは示量性の変数なので、F*(αX,αV)=αF*(X,V)が成り立ちます。(これが成り立つようにa,bには体積依存性を持たせる事が必要です)

簡単のためXとVの値がX1,V1とX2,V2の2つのドメインにだけ分かれる事にして、ドメインウォールを無視すると、全体の自由エネルギーは
F*(X1,V1)+F*(X2,V2)
と与えられます。
X=X1+X2、V=V1+V2で固定した時の最小値をF(X,V)とすると、貴方がお書きのものになるのはほぼ自明でしょう。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2022/08/28 11:55

F* = -aX^2+bX^4 という疑似自由エネルギーを考える

と、|X|≦ √(a/2b)の時には、

X=√(a/2b)に相当するドメインとX=-√(a/2b)に相当するドメインを作った方が自由エネルギーが低いので、この状態が実現し
> F = -aX^2 + bX^4 , (|X|> √(a/2b) )
> F = -a^2/4b , (|X|≦ √(a/2b) )
となる訳ですが、貴方理解ではこの「本来」の自由エネルギーは違う形で出てくるのですか？、

この回答へのお礼

No.1のお礼文中にあるように、本来の自由エネルギー F は
F = -aX^2 + bX^4 , (|X|> √(a/2b) )
F = -a^2/4b , (|X|≦ √(a/2b) )
です。（同じです。）
F の底が平らになるのはドメインを形成するためだということは分かりました。
私の理解が及ばなくて申し訳ないのですが、そのことが F でなく F* = -aX^2 + bX^4 を考えても F を考えた場合と同じ結果になる（F* から求めた状態量 = F から求めた状態量　になる）ことにどのように繋がるのかを教えていただけないでしょうか。

お礼日時：2022/08/28 14:46

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2022/08/27 18:07

何故上手く行くのかと言われると、

究極的には「自然がそう振る舞うから」になってしまうし、何を前提にしたいかで答えは変えられてしまうかと思います。そう言う意味で貴方の求める答えになってるかは分かりませんが、各ドメイン(磁性体だと磁区に相当するもの)の内側の振る舞いはそれなりに正しく取り入れられているから、という言い方はできるかなぁ。


もちろん、ドメインの振る舞いが正しくとも、複数のドメインが存在するような状況を単一ドメインと近似してしまうと、正しく計算できなくなるのですけどね。

この回答へのお礼

前提としては、標準的な熱力学が正しいことにします。
この前提のもとで、
１．F* = -aX^2+bX^4 という疑似自由エネルギーを考える
２．F* の最小値を取るXが実現する状態である
という手法が正しい結果を与える理由を説明できるか、というのが質問です。

（私の考えとしては、例えば F* = -aX^2 + bX^4 のような疑似自由エネルギーは、標準的な熱力学に従うならば、本来は
F = -aX^2 + bX^4 , (|X|> √(a/2b) )
F = -a^2/4b , (|X|≦ √(a/2b) )
と表されるものですが、F の|X|≦ √(a/2b) の領域を -aX^2 + bX^4 で置き換えた F* を考えても、２．の手法を使えば F 使って標準的な熱力学に沿って考えた場合と同じ結果を与える（同じXが最小値を与える）ので、解析的に簡単な F* を使う、など）

お礼日時：2022/08/27 20:43