画像の広義積分の収束発散を調べたいのですが、比較判定法によって調べることはできますか？

画像の広義積分の収束発散を調べたいのですが、比較判定法によって調べることはできますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/01 00:10

1/(x²+x+1)=1/{(x+1/2)²+3/4}<4/3・・・・①

　1/(x²+x+1)=1/{(x+1/2)²+3/4}<1/(x+1/2)²・・・②

積分区間を　(-∞,-1]+[-1,1/2]+[1/2,∞] に分けると、真ん中は
被積分関数は①から有界なので、積分が存在する。

また、②を使うと
　∫[-∞,-1] dx/(x²+x+1) < ∫[-∞,-1] dx/(x+1/2)²
　　=[-1/(x+1/2)][-1,-∞]=2

　∫[1/2,∞] dx/(x²+x+1) < ∫[1/2,∞] dx/(x+1/2)²
　　=[-1/(x+1/2)][∞,1/2]=1
したがって、求める積分は有界なので収束する。

この回答へのお礼

非常に助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/03 16:39

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/09/01 23:09

一見して収束。

被積分関数は|x|→∞で ≒1/(x^2)で、しかも有界だから。というのをもうちょっと丁寧に言うと：
　　M>>1のとき-M〜M の範囲の定積分は、分母が0にならないから収束。
　　M〜∞の範囲の定積分は、(x+1)^2<分母<x^2 なので収束。
　　-∞〜-Mの範囲の定積分は、x^2< 分母<(x-1)^2 なので収束。
というわけで収束。

この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/03 16:39

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/31 22:24

できるかわかりませんが、積分した方が簡単。