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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1/(x²+x+1)=1/{(x+1/2)²+3/4}<4/3・・・・①
1/(x²+x+1)=1/{(x+1/2)²+3/4}<1/(x+1/2)²・・・②
積分区間を (-∞,-1]+[-1,1/2]+[1/2,∞] に分けると、真ん中は
被積分関数は①から有界なので、積分が存在する。
また、②を使うと
∫[-∞,-1] dx/(x²+x+1) < ∫[-∞,-1] dx/(x+1/2)²
=[-1/(x+1/2)][-1,-∞]=2
∫[1/2,∞] dx/(x²+x+1) < ∫[1/2,∞] dx/(x+1/2)²
=[-1/(x+1/2)][∞,1/2]=1
したがって、求める積分は有界なので収束する。
No.3
- 回答日時:
一見して収束。
被積分関数は|x|→∞で ≒1/(x^2)で、しかも有界だから。というのをもうちょっと丁寧に言うと:M>>1のとき-M〜M の範囲の定積分は、分母が0にならないから収束。
M〜∞の範囲の定積分は、(x+1)^2<分母<x^2 なので収束。
-∞〜-Mの範囲の定積分は、x^2< 分母<(x-1)^2 なので収束。
というわけで収束。
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