作図について 写真の垂線の作図についてで、 ②の半径opの円を書くと書いてありますが、opにしなくて

作図について

写真の垂線の作図についてで、
②の半径opの円を書くと書いてありますが、opにしなくても等しい半径を書けば二等分線が書けそうな気がするのですが、opと等しくないといけないでしょうか?

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/07 12:57

> opと等しくないといけないでしょうか?

　いいえ、等しくなくても良いです。でも何でもいいわけじゃなく、

> opにしなくても等しい半径を書けば二等分線が書けそう

それは「中心がPの円と中心がQの円に交点があれば」という条件付きです。単に「等しい半径」というだけだと、うまくいく保証はない。（試しに、うんと小さい半径の円をPとQを中心として描いてみればわかります。）つまり、その考え方では（それで大体良いのだけれど、まだ）「で、交点ができるような半径をどうやって選ぶ？」という問題が残っています。

　そして「交点ができるような半径」の選び方のひとつの案として：

半径をOPにすると、∠AOBが鋭角の場合、O以外の交点が確実にひとつ存在する。

だから、これで答になるわけです。
　そもそもの目的は角の二等分の手順をひとつ示すことでした。だから半径をOPにする以外にもやりようがあるからと言って、間違いにはならない。どんな手順でもできればいいんです。が、でもま、なるべく簡単な手順が好ましいでしょう。

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　というわけですが、さて、この模範解答の通りに半径をOPにすると、∠AOBが180度の場合には交点はOだけだから、角の二等分（これは線分PQの垂直二等分線の作図とおなじこと）ができません。しかし、たとえば：
● 半径をOPより大きくすれば、∠AOBが何度であろうと確実に交点が2個存在し、角の二等分ができる。
あるいは、
● 半径をPQにすれば、∠AOBが何度であろうと確実に交点が2個存在し、角の二等分ができる。（No.1の答案）

　これらに比べると、ご覧の本に載ってる答案は（∠AOBが180度の場合はダメという）条件付きですから、カンペキとは言えません。なので「ひし形の利用」だなんて考え方を推すのもまるきりマトハズレだと思いますね。

この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2023/01/10 23:10

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/07 17:14

例えば

∠AOB=180°
の場合
ひし形の利用はできません

Pを中心に半径|PQ|の円を描く
Qを中心に半径|PQ|の円を描く
の方がよい

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/07 14:35

|PR|=|QR| でありさえすれば、別に

|PR|=|QR|=|OP| でなくてもかわないんですけどね。
|PR|=|QR|=|OP| にしとくと、作図手数が少ないんです。
No.1 さんのように |PR|=|QR|=|PQ| にしても
手数が少ないのは同じです。

ユークリッド作図のルールは、
端折って「定規とコンパスだけを使う」と言われることが多いのですが、
正確には、許されているのは
「与えられた２点を通る直線を描くこと」と
「与えれた点を中心として、与えれれた点を通る円を描くこと」だけです。
コンパスを持ち上げて、半径を他所へ直接移動することはできないんです。
上記の操作を組み合わせれば、半径を移動することも可能なのですが、
そのために３～４ステップの作図を要します。
半径を移動せずに描ける作図手順のほうが簡単なのです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/07 11:38

O からの距離が等しい「P、Q」が与えられているなら、「半径 OP の円」である必要はなく、任意の等しい半径でP、Q を中心とする円弧を書けばよいです。

ただし、O からの距離が等しい「P、Q」自体も作図しなければいけないのなら、その半径のまま「P、Q を中心とする円弧を書く」のが最も「コスパ」がよいでしょう。わざわざコンパスの半径を変更する必要もありませんから。

数学で大事なのは、「言われたことを丸暗記する」「教わったとおりにやる」ことではなく、「どうしてそうするのか」を自分で考えて理解・納得することです。
作図で「何をしているのか」を考えれば、あなたの質問には自分で答を見つけることができると思いますよ。

No.2 回答者： oo14 回答日時： 2023/01/07 08:09

opと等しくなくてもよいです。

適当に広げたコンパスの幅を
一度も変更しないで3つの円を描くだけで
作図できるのが便利なだけです。

ただ、ひし形の利用がテーマなので、
ひし形を作ろうとすると
opと等しくないとひし形になりません。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/07 04:15

②

Pを中心に半径|PQ|の円を描く
Qを中心に半径|PQ|の円を描く
でもよい