解析学の問題がわからないので教えていただきたいです！ よろしくお願いします

解析学の問題がわからないので教えていただきたいです！
よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/18 03:09

これは解析入門I、杉浦、§11、例5に載っている。

(1)
　f(x)=∫[0,x] sin t/t dt
とすると、x>y>0として
　|f(x)-f(y)|=|∫[y→x] sin t/t dx|
　　=|[-cos t/t][x,y] -∫[y→x] cos t/t² dt|
　　≦1/x+1/y+∫[y→x] 1/t² dt=1/x+1/y-1/x+1/y=2/y

ここで、y → ∞とすると、2/y → 0 なので、
　∀ε>0, ∃M>0, x>y>M → |f(x)-f(y)|<ε・・・・①
となる。

ここで、xn → ∞(n → ∞) となる任意の数列 (xn)を取ると、
①によりf(xn)はコーシー列となり、f(xn)は収束する。
すると、f(x)の連続性により、f(x) (x → ∞)は収束する。

つまり、広義積分可能。

(2)
　∫[nπ→(n+1)π]|sinx|/x dx=∫[0→π] sinx/(x+nπ) dx
　　　>{1/(n+1)π}∫[0→π] sinx dx=2/(n+1)π
　　　>(2/π)∫[n+1→n+2] dx/x
したがって
　∫[0→nπ]|sinx|/x dx > (2/π)∫[1→n+1] dx/x
　　　　　　=(2/π)log(n+1) → ∞
となり、発散する。

つまり、広義積分不可能。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/01/19 14:55