『虚数の連続性』

純虚数の関数、例えばｆ(ｘ)＝iｘ（x：任意の実数）としたとき、これを複素平面における虚軸上の点を表す式と捉えると、原点（０，０）で連続となっていると考えてよいのでしょうか？
また、例えば、ｆ(１/2)=i/２といった点でも連続とできるのでしょうか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/03 21:01

複素数

z=x+iy
は複素平面上の点(x,y)を表します
複素数
w=a+ib
は複素平面上の点(a,b)を表します

その差の絶対値
|z-w|=|(x+iy)-(a+ib)|=√{(x-a)^2+(y-b)^2}
は
点(x,y)
と
点(a,b)

の距離になります

だから

ix が　0 に近づくというのは

点(0,x)
と
点(0,0)
の
距離
|ix-0|=√{(0-0)^2+(x-0)^2}=|x|
が
0に近づくという意味なのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/02 20:22

f(x)=ix

f(0)=0
xを0に近づけると
f(x)=ix も　f(0)=0 に近づく

lim_{x→0}f(x)
=lim_{x→0}ix
=0
=f(0)

が成り立つから

f(x)はx=0で連続
-----------------------------
連続の定義)

lim_{x→a}f(x)=f(a)
が
成り立つとき

f(x)はx=aで連続という

この回答へのお礼

再度のご意見、ありがとうございます。絶対値をつけない、素のixについて、
ｘを０に近づけるなら、ixも０に近づくとしているところが問題なのです。例えば、２iより１iの方が０に近いとすると、
２i－０＞１i－０で２i＞iとなりますが、このようにできないことは御承知のことと思います。この点は大小関係を逆にしても同様のことです。
要するに、０に近づくかどうかを評価するためには、絶対値をとらねばならないことになりましょう。
でも、f(x)が実数値をとる関数で、f(x)が０以上の場合なら
|f(x)|＝f(x)とできますが、ixの場合、ｘが０以外だと|ix|＝ixとはできない。つまり、細かいことを言うなら、連続性を評価できるのは、ixでなく|ix|であることになってしまう。
しかし、現行の数学では「絶対値をもって、ixの連続性を定義する」と定められているのかも知れませんね。だとしても「そうなんですか。まあ、あまり感心しませんけど…」というところでしょうか。あくまで、個人的感想というやつですが。

お礼日時：2023/02/03 20:33

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/30 20:41

f(x)=ix ならば、複素平面では 虚軸 そのものでしょ。

当然 複素平面では 連続と考えるのでは。

この回答へのお礼

コメント、ありがとうございます。しかし、貴方の考えでは実数と虚数が連続していることになってしまい、それでいいのか、疑問が残ります。確かに、図で見るといかにも連続っぽく見えるのですが…。

お礼日時：2023/02/02 20:10

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/30 20:40

f(z)=iz

任意の複素数 aに対して
任意のε>0に対して
|z-a|<εとなる任意のzに対して
|f(z)-f(a)|=|iz-ia|=|z-a|<ε
だから
f(z)はz=aで連続

この回答へのお礼

御意見、ありがとうございます。
ただ、本質問の場合、|ixー0|として考えると、|ixー０|=|ix|=|x|となり、虚数ixについての連続性なのか、任意の実数ｘについての連続性を評価しているのか、どちらなのかが疑問です。これを考えていて、お礼が遅くなってしまいました。今でもすっきりとしていませんが。

お礼日時：2023/02/02 20:08