ニュートンのゆりかごの現象について教えてください。

ニュートンのゆりかごで，玉をN個揃ってぶつけると反対側からやはりN個の玉が揃って飛び出ます。この現象はよく分かるのですが，例えば，玉2個分の重さを持つ玉1つをぶつけると，反対側から2つの玉が飛び出るのではなく，いくつもの玉が異なる速度で飛び出ます。この現象は，どのように説明されるのでしょうか。

参考サイト
https://javalab.org/ja/newtons_cradle_ja/

質問者からの補足コメント

• 運動量保存
  ｍ1・v1＝m2・v2
  運動エネルギー保存
  1/2・m1・v1^2＝1/2・ｍ2・v2^2
  
  で，なぜ，玉2個をまとめてぶつけるのと2倍の質量を持つ玉1個をぶつけるのとで違いが出るのかを知りたいのです。よろしくお願いします。

    補足日時：2023/03/14 16:47

• いろいろな方からの説明をありがとうございます。
  
  説明をお聞きして，ほんの少しのことが大きく影響することに驚いています。また，引用したサイトがそこまで細かく考えて作られているとは思いませんでした。
  実際のニュートンのゆりかごで，2つの玉を接着剤かテープでまとめてぶつけてみればすぐ分かることですね。見るまではまだ信じられませんが，物理とはそういうものでしょう。

    補足日時：2023/03/15 09:45

No.13 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/03/15 15:33

たくさんの球が同時に反応するのでなく衝突が一個ずつ時間的にずれて

おこって最終的な結果になる、という前提で3個の玉について
計算してみました：
2個の玉をほぼくっつけた状態でなめらかな水平面において
それに左横から速度ｖで第3の球をぶつけます。
このときぶつける球の質量は2mでおいてある2個の玉の質量はそれぞれm
とします。そして球を左から順に1、2、3とする。
（1）最初1と2がぶつかった直後の1の速度、2の速度は
　　　この2つに運動量保存則と力学的エネルギー保存法則を適用して
　　　１の速度＝ｖ/3、2の速度＝(4/3)ｖ　　になる。
（2）（1）で(4/3)ｖの速度を得た2は静止している3にぶつかって
　　　2と3の速度が入れ替わる、つまり２は静止して3は4/3)ｖの
　　　速度を得る。これも2保存則を適用して得られる。
（3）最後に（1）でｖ/3の速度を得た1が（2）で静止した2にぶつかって
　　　得られる速度は２保存則により1の速度＝ｖ/9、２の速度＝(4/9)ｖ
　　　となる。
（4）(1)(2)(3)　の結果最終的に
　　　1の速度＝ｖ/9、2の速度＝(4/9)ｖ、3の速度＝(4/3)ｖ
　　　という風にばらばらになるのがわかります。

実際に検算してみてこの最終的な状態といちばん最初の運動量の和
および力学的エネルギーの和は保存しています。

この２つの球の相互作用の連鎖という考えでいえば
最初にぶつける1の球の質量が他の２つと同じmの場合
1と2がぶつかって速度が入れ替わり次に２と３がぶつかって速度が
いれかわるから最終的に1、2が静止し一番右の3の球だけが
最初1の持ってた速度で飛び出していくことがわかります。

とまあ、２つの球の相互作用の連鎖という考えで
2つの保存則を維持しながらそこそこの結果が出るんでは
ないでしょうか？

この回答へのお礼

わかりやすい説明をありがとうございます。

この説明が一番納得できました。お手数をおかけしました。

お礼日時：2023/03/15 16:08

No.12 回答者： yos1912 回答日時： 2023/03/15 08:43

No.8　です　２倍質量の玉の衝突後の運動についてわからないと書きましたが、補足します。

　基本的には反対側の玉一つが２倍の運動エネルギーを得て(２の平方根倍の速度で)飛び出す可能性が一番大きいと考えられます(ここのところはまだよくわかりません)。

　衝突後ばらばらに運動したのは、最初の玉の衝突位置が中心からずれていたためと思われます。玉の大きさが違うと中心をそろえるのは格段に難しくなります。
　ビリヤードで、玉を中心からずらしてぶつけると、ぶつけた玉が静止してぶつけられた玉だけが動いていくのではなく、２つの玉が９０度の方向に進んでいくのと同じと考えていいと思います。
　重ねたスーパーボールを落下させる実験をご存じですか。なかなかおもしろい実験なので試してみるといいですよ。この時に、二つのボールをまっすぐに重ねて落とすと上のボールだけが２倍の高さまでまっすぐ跳ね返ります。重ね方が悪いと２つの２つのボールはてんでばらばらの方向に跳ね返っていきます。
こういったことと同じ現象が起こったものと推定できます。

ついでにもうひとつ補足です。
二つの玉から同時にと書きましたが厳密には２つ目の玉がぶつかったのがわかるのもほんの少し遅れるために衝撃パルスが先頭に到着するのはさらに遅れます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

シミュレーションなので，中心を揃える方が少しだけずらすより楽な気がしますが，凝ったシミュレータなのでしょう。

お礼日時：2023/03/15 10:39

No.11 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/14 23:01

> 玉をN個揃ってぶつけると反対側からやはりN個の玉が揃って飛び出ます。

というのだって、単純に運動量保存とエネルギー保存だけじゃ説明できんですよ。
　しかし、「タマの間にほんのちょっとだけ隙間がある」と考えると、衝突は一度に2個のタマだけが関わる現象になります。その衝突ごとに、運動量保存とエネルギー保存の2つの式で、衝突後のふたつのタマの速度が計算できる。質量が違うタマがある場合にも、このやりかたでなら計算できます。
　（お示しのサイトはsimulationですんで、一度に一つの衝突を順番に計算しているにちがいなく、実質的に「隙間がある」のと同じことをやっているんだと思われます。）

　問題は、「タマの間に隙間なんかホントにない、という場合にも同じ現象が起こるのはどうしてか」ということにこそあって、今度は「タマが衝突でどう変形し、その変形がどう伝わるか」ということを考察しなきゃなりません。
　これは物理学で今なおマジに議論される問題であり、完全決着はしていないと思いますが、一応「衝突点で発生した歪みが音波として伝達し、アッチ側の端まで行って反射してきたのと、コッチ側の端まで行って反射してきたのが正面衝突する場所が動くんだ」という説明がなされています。でも異論も出ている。
　隙間なんかない場合に関して、さらには「タマじゃなくてもっと他の形ならどうなるの」「形が揃ってないとどうなるの」「タマの密度とかヤング率とかが違うとどうなの」などなど、いくらでも疑問が湧いてくる。生半可なsimulationでは手に負えんでしょうね。やっぱり実験しないと。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/14 22:35

玉の衝突は玉の弾性により押し返される現象なので

理想的な瞬間の衝突に比べ
隙間があるというモデルの方が妥当と思います。

同じ質量の玉が衝突すると、衝突した玉の全運動量が
衝突された玉ヘ移り、衝突した玉は完全に停止しますが
衝突した玉の質量が衝突された玉の質量より大きいと
衝突した玉(左端)の速度はゼロにならず、勢いが弱まりながら
衝突された玉(右となり)に、短時間に複数回衝突すると思います。

恐らくそれが、様々な速度で玉が右へ複数個飛び出す
原因なのでしょう。

コンピューターミミュレーションの題材として
おもしろそう。

No.9 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/14 20:28

No.7 です。

＞したがって，質量が変わっても振り子の周期は変わらないのではないでしょうか。

「単振り子」の場合「等時性」は「振動が微小なとき」の近似であり、実際の厳密解は下記のように最大振幅時の角度（高さ）によって変化します。
↓
https://manabitimes.jp/math/1273

＞一番左の玉を2kgにした時，最初の一撃でバラバラになるのがよく理解できません。

そのサイトのシミュレーションがどのようなメカニズム、精度で行われているのか分かりませんが、すべての玉を「1 kg」にしても、揺れの角度を大きくとると中央の玉が微小に揺れるので、玉の間に微小なクリアランスがあるような模擬がされているように見えます。従って、玉ごとの衝突が「同時」ではなく、微小な時間のずれがあるようです。
そういったものに影響されているのではないでしょうか。

また、玉どうしの動き（振り子運動の位相）にずれが出て、糸の向きが鉛直方向とは異なる角度で衝突したときには、衝突時に及ぼしあう力は「水平方向」でも「円周方向」でもなくなりますし、「2 kg」にすると玉の半径も変わるので、衝突時の力の及ぼしあいがさらに複雑になるように見えます。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。

お話を聞くと，理論的（玉の大きさなどを無視できれば，など）には1kgの玉2つを合わせてぶつけても2kgの玉1つをぶつけても右から飛び出る現象に差異はないが，現実に近いほどいろいろと細かいことで差が出てもおかしくない，というふうに聞こえます。

私も現実にはいろいろな細かなことで理論通りには行かないことは確かだと思いますが，このような教育的なサイトで私が思っていた原則と大きく異なる結果を表示することに非常に疑問を持ったところです。少しの差なら理解できるのですが，あまりにも違う現象だったので質問しました。

実際にそのようなニュートンのゆりかごを作って試せばすぐ結果が分かるのでしょうが手抜きですみませんでした。

親身になってお返事くださりありがとうございます。

お礼日時：2023/03/14 20:48

No.8 回答者： yos1912 回答日時： 2023/03/14 20:06

可能性として考えられることです。

確証はありません。
　二つの玉をぶつけるときにほんのわずかだけずらしたとすると、最初の１個目がぶつかって反対側の一個が飛び出します。さらに２個目がぶつかった衝撃で、反対側の２番目が飛び出すことになります。この時間差がほとんどわからないくらいだとすると、２個の玉がぶつかって反対側から２個の弾が飛び出すように見えるでしょう。
　ここで、２つの玉を同時にぶつけたとします。それぞれの玉から衝撃が同時に発生しますが、２つ目の玉からの衝撃は、１つ目の玉を通りぬける時間だけわずかに遅れます。つまり、時間差をつけてぶつけたのと同じ事になります。
　これに対して、２倍の質量を持つ玉をぶつけたときには、端の玉に２倍の衝撃が伝わることになり、最初の２粒つけたときとは違う結果となるのは予想できます。それがどうなるなのかまではわかりません。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/14 18:27

No.6 です。

＞掲載した参考サイトで試してみてください。こちらのサイトが間違っているのでしょうか。

間違ってはいません。
すべての玉の質量を等しくすれば、振り子運動の周期も一致しますから、全体の運動も同一周期で動きます。
それに対して、玉ごとの質量を変えれば振り子運動の周期が変わり、それによる「振幅による位置エネルギー」がまちまちになることで個々の玉の動き方が複雑になります。

衝突の瞬間は「運動量保存」「運動エネルギー保存」ですが、運動の全体は「位置エネルギー」も含んだ「力学的エネルギー保存」になっていますので、質量をばらばらにすると運動は複雑になります。

この回答へのお礼

お詳しいようなのでもう少し質問させてください。

このサイトでは，振り子の長さはすべて同じにしてあると思います。したがって，質量が変わっても振り子の周期は変わらないのではないでしょうか。一番左の玉を2kgにした時，最初の一撃でバラバラになるのがよく理解できません。バラバラになってしまった玉が複雑なリアクションするのは理解できます。

お礼日時：2023/03/14 18:36

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/14 18:00

＞なぜ，玉2個をまとめてぶつけるのと2倍の質量を持つ玉1個をぶつけるのとで違いが出るのか

質量や速さが違えば、そして現実には衝突のしかたや空気の抵抗が違えば、それぞれ異なるでしょう。
しかし、
・運動量保存
・運動エネルギー保存（あるいは損失）
の観点からは、同じように取り扱えるはずです。

具体的に、どのような衝突の場合を想定しているのですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
掲載した参考サイトで試してみてください。こちらのサイトが間違っているのでしょうか。

お礼日時：2023/03/14 18:08

No.2 回答者： ogi_3 回答日時： 2023/03/14 16:36

「運動量保存とエネルギー保存」を説明するのに最適だからです。

詳しい理屈は、こちらをご参照。
https://www.jsol-cae.com/product/struct/lsdyna/t …