微分方程式

解核行列Φ(x,s)=e∫ [s,x]a(t)dt
と放送大学でなっていますが
Φ(x,s)を具体的に行列表現するとどうなるのでしょうか
宜しくお願い致します。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/13 14:00

行列指数関数の一般的な定義より、Aを有限区間の近似によって表現します。

　…×
ケイリー・ハミルトンの定理により、行列冪級数は有限次の多項式で表せます。　…◯

この回答へのお礼

よくわかりませんが勉強してみます
有り難うございます

お礼日時：2023/05/13 21:17

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/05/13 13:04

解核行列Φ(x,s)は、sからxまでの区間で積分された係数関数a(t)を用いた行列指数関数です。

具体的な行列表現を求めるためには、a(t)の形が必要ですが、ここでは一般的な形を考えます。

Φ(x,s)の行列指数関数は以下のように表されます。

Φ(x,s) = exp(A)

ここで、Aは次のように定義されます。

A = ∫ [s,x]a(t)dt

この式で、[s,x]はsからxまでの区間を表します。

行列指数関数の一般的な定義より、Aを有限区間の近似によって表現します。

A = lim(n→∞) [∫ s+(x-s)k/n s+(x-s)(k+1)/n exp(a(t)k/n)dt]^n

ここで、kは0からn-1の整数です。この式は、nを大きくするとより正確にAを表現できます。したがって、Aを有限区間の近似によって表現した場合、Φ(x,s)は以下のようになります。

Φ(x,s) = lim(n→∞) [exp(A/n)]^n

これにより、Φ(x,s)は行列指数関数を用いた行列表現として表すことができます。具体的にどのような行列になるかは、係数関数a(t)の形によって異なります。

この回答へのお礼

ご親切に有り難うございます
よく勉強します

お礼日時：2023/05/13 21:16