場合の数、確率 17 京都大学 再掲載

n 個のサイコロを同時に振り、出た目の最大のものをMₙ , 最小のものをmₙ
とするとき、Mₙ-mₙ>1 となる確率を求めよ.


考え方

サイコロは区別して考える
例えば、n=5
⑤④③②①
⑤④④④①
⑤④③③①

など題意を満たすケースは限りない
数を小さくしてn=5 として考えても
一般化にはほど遠い

識者の方のアプローチも教えて下さい

質問者からの補足コメント

• 

  回答者として、どうお考えですか
  
  ________________________________________
  
  ←No.8 補足
  そこで A ∧ notB を考えていることが見当違い。
  
  A ： １の目が少なくても１回出て、かつ、２の目が少なくても１回出る
  B ： １の目が少なくとも２回出て、かつ、２の目が少なくとも１回出る
  C : １の目が丁度１回出て、かつ、２の目が少なくても１回出る
  
  (A ⇔ B∨C)かつ(B∧C ⇔ 偽)より
  Aが起こる確率 = Bが起こる確率 + Cが起こる確率.
  
  (A ∧ notB)が起こる確率は、No.6 の計算には関係がない。
  
  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
  
  
  回答をお待ちしております。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/23 06:00

• 

  本題
  
  先ずは全事象を捉えた
  確率での全事象でなく、場合の数で全事象を考えてみた
  
  Mₙ-mₙ=1 の事象が本題のキーだろうか
  これを数え上げられれば、後は問題ない
  
  以下答案
  
  __________________________________________
  
  https://imgur.com/a/rKJXESL
  
  
  _______________________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/06/23 11:50

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/22 11:18

また今回も... 本当に余事象が好きなんだね。

M,m が登場する確率 p(M,m) を求めて
それを M-m>1 となる M,m について Σ して...
とやってたら、手間が大変。今回も余事象が効く。

(M-m>1 となる確率) = 1 - (M-m≦1 となる確率)
　= 1 - (M-m=0 となる確率) - (M-m=1 となる確率),

(M-m=0 となる確率) = (全部 m の目が出る確率)×(m の種類)
　= ( (1/6)^n )×( 6 )
　= (1/6)^(n-1),

(M-m=1 となる確率) = (m と m+1 の目が出る確率)×(m の種類)
　= (m と m+1 の目が出る確率)×(m の種類)
　= { (m か m+1 の目意外は出ない確率)
　　　- (全部 m の目が出る確率)
　　　- (全部 m+1 の目が出る確率) }×(m の種類)
　= { (2/6)^n - (1/6)^n - (1/6)^n }×( 5 )　;m=6にはならない
　= 5(1/3)^n - 10(1/6)^n.

以上から、
(M-m>1 となる確率) = 1 - 6(1/6)^n - { 5(1/3)^n - 10(1/6)^n }
　= 1 - 5(1/3)^n + 4(1/6)^n.

この回答へのお礼

学者さんへ

先ずは全事象を捉えた
確率での全事象でなく、場合の数で全事象を考えてみた

Mₙ-mₙ=1 の事象が本題のキーだろうか
これを数え上げられれば、後は問題ない

以下答案

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https://imgur.com/a/rKJXESL


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from minamino

お礼日時：2023/06/23 11:52

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/06/22 10:14

余事象の確率を求めた方が楽。

M_n-m_n=0　(全て同じ数字が出る場合)
と
M_n-m_n=1　("1"と"2"だけ出る、というような一つ違いの2種類の数字だけが出る場合)
の確率を足し合わせ、それを1から引けばよい。

この回答へのお礼

お初です

先ずは全事象を捉えた
確率での全事象でなく、場合の数で全事象を考えてみた

Mₙ-mₙ=1 の事象が本題のキーだろうか
これを数え上げられれば、後は問題ない

以下答案

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https://imgur.com/a/rKJXESL


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from minamino

お礼日時：2023/06/23 11:52