高校 数A

7人を次のようにする方法は、何通りあるか。
(1)部屋A,B,Cに2人ずつ入れ、部屋Dに1人入れる。
(2)2人、2人、2人、1人の４組にわける。

という問題なのですが、(1)はわかったのですが（2）で（1）でだした630をなぜ3！でわるのですか？
解説にA,B,Cの区別をなくすと、同じものが3！通りずつできると書いてあるのですがよくわかりません。

なんで3！でわるのかもっと簡単に説明してくださるとありがたいです。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/25 15:41

7人に数字を割り当ててあろとすると

例えば(1)は
12 34 56 7
と
34 12 56 7
は区別するけど(2)では区別しないということなんでしょうね。
大分言葉足らずだとは思うけど。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/26 15:26

1)7C2 * 5C2 * 3C2=7*6*5*4*3*2/2^3=7*6*5*3=7*90=630

２) A と　D をつないで　円にした場合にあたるので　その時の　円順列が
　　(4-1)!=3!=6 重複しているので　630/3!=630/6=105
https://www.headboost.jp/round-permutation/

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/25 18:21

(2)は部屋の区別が無いから(1)だと重複が多くでてくる。

例えば
abのペア、cdのペア、efのペア、の場合、区別しないならこれで1通り

部屋を区別するなら、
Aの部屋には、abのペア、cdのペア、efのペアのいずれだから3通り
Bの部屋には、残りの2ペアのどちらかだから2通り
Cの部屋には、残り1ペアしか無いから1通り
都合3×2×1=6通り。
3個を並べる順列と同じだから3!となる訳。

部屋を区別しないなら1通りなんだから、3!で割れば良いわけ。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/25 17:59

その解説の

＞ A,B,Cの区別をなくすと、同じものが3！通りずつできる
で理解できないようなら、数学を学ぶこと自体が無理ゲーなような気はします。
数学に限らず何かを学ぶ上では、最低限の知性は必要です。

例え話でもしてみましょうか。
７人の人に 1,2,3,4,5,6,7 の番号をつけ、
(1) のように部屋割りした状態を考えてみます。
一例として
A: 1,2
B: 3,4
C: 5,6
D: 7
のような部屋割りが考えられますね？

(1) では
A: 1,2
C: 3,4
B: 5,6
D: 7

B: 1,2
A: 3,4
C: 5,6
D: 7

B: 1,2
C: 3,4
A: 5,6
D: 7

C: 1,2
A: 3,4
B: 5,6
D: 7

C: 1,2
B: 3,4
A: 5,6
D: 7
の部屋割りが区別されますが、
この 6 通りの部屋割りは (2) では同じものと数えられます。
最初の
A: 1,2
B: 3,4
C: 5,6
D: 7
に対して、 A,B,C という部屋名を入れ替えたものだからです。

部屋名の入れ替えは A,B,C の並べ替え 3! 通りありますね。
(2) では (1) の ３！ 通りづつが 1 通りとして数えられるため、
(2) の答え = (1) の答え ÷ 3! となるのです。

No.3 回答者： canaanium 回答日時： 2023/10/25 14:58

7人をA、B、C、Dにわける方法は

(7C2×5C2×3C2×1C1)＝630通りです

この中のA、B、Cの組み合わせは
(3C2×2C1×1C1)=(3!)=6通りです

＞(2)2人、2人、2人、1人の４組にわける。
は、A、B、Cの組み合わせにわける必要がないので
(7C2×5C2×3C2×1C1)÷3！
となります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/25 14:34

(1) 一人ひとりを区別し、かつ部屋も区別するものとすれば

部屋Ａに入る2人の選び方：
　7C2 = 21 とおり
残った5人から、部屋Ｂに入る2人の選び方：
　5C2 = 10 とおり
残った3人から、部屋Ｃに入る2人の選び方：
　3C2 = 3 とおり
残った1人は、必ず部屋Ｄに入る。
以上の組合せは
　21 × 10 × 3 × 1 = 630 とおり

（注）「部屋Ａ」でペアになった２人が「部屋Ｂ」「部屋Ｃ」でペアになるものも別々に数えていることになります。

(2) 上記の部屋の区別をなくす。
　部屋Ｄは必ず１人と決まっているので、残りの「２人ずつの３部屋」が「どの部屋でもよい」ということになる。
　３部屋の選び方は
・１つ目の部屋：A、Ｂ、Ｃのどれかで３とおり
・２つ目の部屋：残った２部屋のどちらかで２とおり
・３つ目の部屋：残った部屋で１とおり
その組合せは
　3 × 2 × 1 = 3! とおり

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/10/25 14:24

（2）2人入っているは部屋を区別しないということです。

逆向きに考えると、
（2）を（1）の状態にするためには、（2）で組み分けした二人組を３つの部屋に入れる組み合わせが増えるわけですから、
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA
の3！を掛けることになります。