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A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
>lim[x→p]x=pを前提としてしまって良いのでしょうか。
それ何か役に立ちますかね?
lim の定義に従って素直に解くだけだと思いますよ。
以下の式で任意のεに対してσが存在することを示せばおしまい。
|x-p|<σ
|1/p - 1/x|<ε
No.1
- 回答日時:
lim[x→p]x=p が成り立つのことは自明で
それを使うことには問題はないけれども、
「を前提として」というのが、もし
『lim[x→p]x=p だから 1/x に x=p を代入して =1/p』
とやろうとしているのだとしたら、全くダメです。
lim[x→p]f(x)=f(p) が成り立つのは f(x) が x=p で連続
な場合であって、まさにその 1/x が x=p で連続であること
を示せという問題なのですから、
上記の『 』では循環論法になってしまいます。
普通に lim の定義どおりにやったらいいでしょう。
lim[x→p](1/x)=1/p
⇔ ∀ε>0,∃δ>0,∀x,0<|x - p|<δ⇒|1/x - 1/p|<ε ←[1]
です。
任意の ε>0 に対して
δ < (εp^2)/(εp + 1) となるように δ を選べば、 ←[2]
[1] が成り立ち、
よって lim[x→p](1/x)=1/p が言えます。
[2] は、1/(p - δ) - 1/p < ε を変形して得ました。
y = 1/x のグラフを眺めて
x = p - δ と x = p + δ のどちらで
|1/x - 1/p| が大きくなるかを考えれば、解ると思います。
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