εδ論法で質問です

関数fが、任意の点で連続であることを言いたいときに、任意の点をxとしたときはデルタの範囲にεに加えて、xも使っていいのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/01/15 10:40

単に連続であるという場合であればδの上限はεだけでなくxの値にも依存します。

例えばf(x)=x^4 (質問者の別の質問の関数)の場合はδの上限がεだけで決まるとすると間違っていることが簡単に示せます。

f(x)=x^4がx=a　(a>0)において
|f(x)-f(a)|<ε が|x-a|<δ(ε)となる全てのx,aで成り立つとする。
x=a+δ(ε)/2とすると|x-a|=δ(ε)/2<δ(ε)であるから|f(a+δ(ε)/2)-f(a)|<ε
とならなければならない。
|f(a+δ(ε)/2)-f(a)|=(a+δ(ε)/2)^4-a^4>2a^3*δ(ε)
(展開して第３項以降は全て正であることから上記のことが言える)
となるが、この左辺はaを大きくすればいくらでも大きくすることができる。そのためこの式がaの値によらず常にεよりも小さいということに矛盾する。

もし、δの上限がεだけに依存しaによらない、となるとそれは単に連続というだけでなく、一様連続であるということです。
例えばf(x)=xやf(x)=sin(x)は一様連続な関数です。この二つの関数ではどのようなaをとっても|x-a|<εであれば|f(x)-f(a)|<εとなります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 20:37

質問は、

「デルタの範囲にεに加えて、xも使っていいのでしょうか？」
だったね。
それへの回答は、No.1

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/14 19:31

f(x)=x^4

任意の点aに対して
任意のε>0に対して

δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}
とすると

|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<1+2|a|+2a^2≦(1+2|a|)^2
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<ε/(1+2|a|)^3
だから

|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)^3
<ε(1+2|a|)^3/(1+2|a|)^3
=ε

だから
f(x)=x^4 は　任意の点aで連続である

δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}
に
任意の点aを使っている

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/14 16:56

関数

f:X→Y
任意のa∈X
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となるとき

lim_{x→a}f(x)=f(a)
と
表し
fは任意の点aで連続であるという
の
だから

|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
lim_{x→a}f(x)=f(a)
の2つの変数
x,aの内の
aをxに変えるのならば

xを別の変数tにかえて

関数
f:X→Y
任意のx∈X
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|t-x|<δとなる任意のtに対して
|f(t)-f(x)|<ε

lim_{t→x}f(t)=f(x)

となる

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 13:11

そもそも εδ論法は、δ の存在を示すもので、

δの範囲を求める必要は無いんだが...
参考↓の No.3 No.5
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13707502.html

条件を満たす δ の範囲を求めてしまえば、
それが空集合でないことを示したことになって
それはそれでいいんだけどね。(過剰な手間ではあるけど。)

で、その δ の範囲を示す式に ε, x が入っていることは特に問題がない。
それでちゃんと f の x での連続性を示したことになる。
ただし、x を消した式で表せないと、一様連続を示したことにはならない。