
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
単に連続であるという場合であればδの上限はεだけでなくxの値にも依存します。
例えばf(x)=x^4 (質問者の別の質問の関数)の場合はδの上限がεだけで決まるとすると間違っていることが簡単に示せます。
f(x)=x^4がx=a (a>0)において
|f(x)-f(a)|<ε が|x-a|<δ(ε)となる全てのx,aで成り立つとする。
x=a+δ(ε)/2とすると|x-a|=δ(ε)/2<δ(ε)であるから|f(a+δ(ε)/2)-f(a)|<ε
とならなければならない。
|f(a+δ(ε)/2)-f(a)|=(a+δ(ε)/2)^4-a^4>2a^3*δ(ε)
(展開して第3項以降は全て正であることから上記のことが言える)
となるが、この左辺はaを大きくすればいくらでも大きくすることができる。そのためこの式がaの値によらず常にεよりも小さいということに矛盾する。
もし、δの上限がεだけに依存しaによらない、となるとそれは単に連続というだけでなく、一様連続であるということです。
例えばf(x)=xやf(x)=sin(x)は一様連続な関数です。この二つの関数ではどのようなaをとっても|x-a|<εであれば|f(x)-f(a)|<εとなります。
No.3
- 回答日時:
f(x)=x^4
任意の点aに対して
任意のε>0に対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}
とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<1+2|a|+2a^2≦(1+2|a|)^2
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<ε/(1+2|a|)^3
だから
|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)^3
<ε(1+2|a|)^3/(1+2|a|)^3
=ε
だから
f(x)=x^4 は 任意の点aで連続である
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}
に
任意の点aを使っている
No.2
- 回答日時:
関数
f:X→Y
任意のa∈X
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となるとき
lim_{x→a}f(x)=f(a)
と
表し
fは任意の点aで連続であるという
の
だから
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
lim_{x→a}f(x)=f(a)
の2つの変数
x,aの内の
aをxに変えるのならば
xを別の変数tにかえて
関数
f:X→Y
任意のx∈X
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|t-x|<δとなる任意のtに対して
|f(t)-f(x)|<ε
lim_{t→x}f(t)=f(x)
となる
No.1
- 回答日時:
そもそも εδ論法は、δ の存在を示すもので、
δの範囲を求める必要は無いんだが...
参考↓の No.3 No.5
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13707502.html
条件を満たす δ の範囲を求めてしまえば、
それが空集合でないことを示したことになって
それはそれでいいんだけどね。(過剰な手間ではあるけど。)
で、その δ の範囲を示す式に ε, x が入っていることは特に問題がない。
それでちゃんと f の x での連続性を示したことになる。
ただし、x を消した式で表せないと、一様連続を示したことにはならない。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
真面目に質問します。 クリで連...
-
人生は、苦しみの連続ですか?
-
友達から遊びに誘われたのです...
-
回答すると、変です。
-
エクセルで同じ文字が3連続して...
-
数列の問題で 階段の登り方の漸...
-
中3数学です 教えてください!!
-
マイナポイントアプリで、パス...
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
Q連続体を超える全知全能は種族...
-
1日あける 一日置き 違いは何で...
-
かんたんな数学
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
1kgの10%は?
-
【至急!】この解き方を教えて...
-
写真の問題の解き方を教えてく...
-
?に入る値は?
-
この問題を教えてください。な...
-
中学校2年生の連立方程式です。...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
人生は、苦しみの連続ですか?
-
真面目に質問します。 クリで連...
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
Q連続体を超える全知全能は種族...
-
自動紙送り装置
-
数学
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
連続する2整数が互いに素(最大...
-
無理数は連続ですか?
-
1日あける 一日置き 違いは何で...
-
数列の問題で 階段の登り方の漸...
-
4期連続赤字とは?
-
中3 式の計算
-
ε-δ論法による関数の連続性につ...
-
x^2sin(1/x) と 0(x=0) での連続性
-
連続する3つの整数の積が6の倍...
-
単純支持梁と連続支持梁の違い
-
AMDのCPUコアが、連続稼働でハ...
-
区分的に連続な関数について
おすすめ情報