ダランベールの判定法

Σ[n=1,∞] n(-1)^(n-1)/(n^2 + 1)

をダランベールの判定法で収束、発散を調べようとしたのですがr=1となってしまいました。どなたかお助けください。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/04 17:03

項が交互に正負になる級数を

交代級数という

a(n)=n(-1)^(n-1)/(1+n^2)
Σ[n=1,∞]a(n)
は
奇数項が正
a(2k-1)=(2k-1)/{(2k-1)^2+1}>0
偶数項が負
a(2k)=-2k/{(2k)^2+1}<0
の
交代級数
で
lim_{n→∞}a(n)=0
だから
収束する

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/05 08:40

単調減少級数が収束するとは限らない。

例： Σ[n=1→∞] 1/n = +∞.

隣接する項の正負が異なり、かつ絶対値は単調減少であるような級数を
減少交代級数または単に交代級数ともいう。

交代級数は収束することが知られている。
更に強く、交代級数を部分和で打ち切ると
打ち切り誤差は打ち切った最初の項の絶対値以下である。
証明はここに↓
https://mathlandscape.com/alter-series-convergen …

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/04 14:06

べつに

述べたとおり、定理です。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/04 12:28

どんな級数か判然としないがテキトー

|an|=n/(n²+1) → 0
なので、定理から、交代級数Σanは収束

この回答へのお礼

単調減少関数だからその級数も収束みたいな認識であってますか？

お礼日時：2024/02/04 12:38