隅田川の花火大会が見える最長距離は？

各地で花火大会をやっています。
そしてもうすぐ有名な隅田川の花火大会がやってきます。

この花火大会、数学的に考えて、どのぐらい遠くから見えるでしょうか？
（ビルや山などの遮蔽物が一切ないとします。また蜃気楼のような特殊な光の屈折は発生しないもの、とします）

このままだと
「宿題丸投げ」
「試験問題を他人に解かせようってんだな！　通報通報！」
と、「教えてgoo警察」が出没しますので、少しだけ自分で考えてみました

あるクイズで、「地平線、水平線の距離は？」「正解　約4km」というのがありました。
平均的な大人の身長の人が、水平線を見たとき、それは4キロ先であり、それ以上は見えない（地球が丸いので、4キロ以上先のものは水平線の下に隠れてしまう）ということでした。

ここから、導くと
「隅田川花火大会の花火がみえるのは4キロ離れたところが限界である」
となります。
いかがでしょうか？

数学に詳しい方、お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/27 21:04

花火の上がる高さは、120m〜300mだと言われています。

300m上がるとして、「地平線、水平線の距離は？」と同じ方法で計算すると...

地球の半径を約 r = 6400 [km] = 6.4×10^6 [m] として
cosθ = r/(r + 300) ≒ 6.4×10^6/(6.4×10^6 + 300) ≒ 1 - 4.7×10^-5
sinθ = √(1 - (cosθ)^2)
　　≒ √(1 - (1 - 4.7×10^-5)^2) ≒ √(2・4.7×10^-5)
　　≒ √0.000094 ≒ 0.0097

sin のマクローリン展開から sinθ ≒ θ なので、θ ≒ 0.0097

質問の答えは、 rθ ≒ (6.4×10^6)×0.0097
　　　　　　　　≒ 6.2×10^4 [m]
だいたい 62km離れたところが限界かと思います。

あれ？ No.1 とひと桁違うな...

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/07/31 15:32

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/28 14:51

「みえるのは4キロ離れたところが限界である」というのは「地べたでやってるセンコウ花火が見えるかどうか」の計算でしょう。

隅田川花火大会は富士山のテッペンからでも、いや数十万kmの上空からでも見えると思うが、標高0m地点に立って見るという制限付きの話だとすると：
高さhのものが標高0mから見える限界は、地球の半径をRとすると、
　　 cosθ = R / (R+h)
を満たすθを使って、コタエはRθとなる。Rは、赤道一周が40000kmなので
　　R[km]=40000/(2π)
また、計算には近似
　　cosθ ≒ 1 - θ²/2, R/(R+h) ≒ 1-h/R
を使う。
打ち上げ花火が炸裂した最上部の高度hがたとえば300m（すなわち0.30km)だとすれば、これが地表面から見えるのは
　　Rθ[km] ≒ √(2Rh) = √(0.30×40000/π) ≒62km
（これは言い換えれば、花火のテッペンに目を置いて眺めた場合の地平線までの距離です。）
　一方、目の高さが1.5m、すなわち標高h'=0.0015kmにあるとすると、地平線までの距離は
　　Rθ'[km] ≒ √(2Rh') = √(0.0015×40000/π) ≒4.4km
だから標高0m地点に立って（すなわち標高0.0015kmから）見るとき、地平線より上に花火が炸裂した最上部が見えるのは、花火からの距離が
　　(62 + 4) = 66km
よりも近い場所。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/07/31 15:32

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/27 20:59

水平線は 地上と同じ高さです。

花火は 地上より 高い処にありますから、
4km 以上 遠いところから 見える筈です。
具体的には 花火が 地上何メートルの高さに
上がるかによって 変わる筈です。
簡単な図を書いてみれば、大まかな数字は 計算可能でしょう。
地球の半径は 約 6,350km と言われます。
花火と 目線で 直角三角形が出来ますね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/07/31 15:32

No.1 回答者： masha5310 回答日時： 2024/07/27 19:21

花火は地平線でなくもっと高い位置で爆発するので、もっと遠くから見えます

下のサイトによると、7kmくらい離れていても見えるようですね、展望台などに登れるのならもっと遠くからでも見えると思います
https://ainoyamanoyu.com/sumidagawa-hanabi-look/

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/07/31 15:32