複素数平面上の点U(u),V(v),W(w)がこの順に左回りで三角形をなし、しかも△UVWの内部には

複素数平面上の点U(u),V(v),W(w)がこの順に左回りで三角形をなし、しかも△UVWの内部には原点O(0)があるとします。
任意の複素数zに対してある0以上の実数p,q,rが存在し、z=pu+qv+rwとなりますか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/01 17:14

#2です間違えました取り消します

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/08/01 16:43

最初の条件からwをu,vと2実数s,tを使い

w=su+tv
と表すとs<0,t<0となります。

z=pu+qv+rw=(p+sr)u+(q+tr)v　　s<0,t<0
と変形できます。
質問は任意のs<0,t<0に対して(p+sr,q+tr)がr>0,s>0,t>0を選べば任意の実数の組(a,b)となり得るか、という問題に帰着します。

これは簡単で、
sr<a -> r>a/s
tr<b -> r>b/t
となるrを選べば(このようなrは必ず存在する(例)max(a/s,b/t,0)+1)
p=a-sr>0
q=b-tr>0
とすることができます。

以上のことから任意の複素数zに対してz=pu+qv+rwとしたときp>0,q>0,r>0となる実数p,q,rは必ず存在することが言えます。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/01 16:32

z≠0のとき

p=z|u|^2/{u(|u|^2+|v|^2+|w|^2)}
q=z|v|^2/{v(|u|^2+|v|^2+|w|^2)}
r=z|w|^2/{w(|u|^2+|v|^2+|w|^2)}
とすると

pu=z|u|^2/{(|u|^2+|v|^2+|w|^2)
qv=z|v|^2/{(|u|^2+|v|^2+|w|^2)
rw=z|w|^2/{(|u|^2+|v|^2+|w|^2)

pu+qv+rw
=z(|u|^2+|v|^2+|w|^2)/(|u|^2+|v|^2+|w|^2)
=z

------------------
z=0のとき

p=w|u|^2/{u(|u|^2+|v|^2)}
q=w|v|^2/{v(|u|^2+|v|^2)}
r=-1
とすると
pu+qv=w
pu+qv-w=0=z

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/01 16:12

これは複素数というより線形代数の問題ですね。

u、v・wを2次元ベクトルと見た場合、uとv、vとw、uとwのいずれかが―次独立ならp、q、rは必ず存在します。

左回りで三角形をなすならどれかが必ず一次独立になりますね。