複素数平面上の点U(u),V(v),W(w)がこの順に左回りで三角形をなし、しかも△UVWの内部には

Question

複素数平面上の点U(u),V(v),W(w)がこの順に左回りで三角形をなし、しかも△UVWの内部には原点O(0)があるとします。
任意の複素数zに対してある0以上の実数p,q,rが存在し、z=pu+qv+rwとなりますか？

rnakamra · Accepted Answer

最初の条件からwをu,vと2実数s,tを使い

w=su+tv
と表すとs<0,t<0となります。

z=pu+qv+rw=(p+sr)u+(q+tr)v　　s<0,t<0
と変形できます。
質問は任意のs<0,t<0に対して(p+sr,q+tr)がr>0,s>0,t>0を選べば任意の実数の組(a,b)となり得るか、という問題に帰着します。

これは簡単で、
sr<a -> r>a/s
tr<b -> r>b/t
となるrを選べば(このようなrは必ず存在する(例)max(a/s,b/t,0)+1)
p=a-sr>0
q=b-tr>0
とすることができます。

以上のことから任意の複素数zに対してz=pu+qv+rwとしたときp>0,q>0,r>0となる実数p,q,rは必ず存在することが言えます。

stomachman · Answer

[1]z=0の場合はp=q=r=0。
z≠0の場合、Oを端点としZを通る半直線は⊿UVWの辺（か頂点）と交わる。その交点をK(k)とすると
　　z = ak
となる実数aが存在してa≧0であるのは明らか。で、Kが辺ST (S(s), T(t)はそれぞれU(u), V(v), W(w)のどれか）上にあるとき、
k = bs + (1-b)t
となる実数bが存在して0≦b≦1であるのも明らか。あわせて
　　z = abs + a(1-b)t
ただし、s, tはu,v,wのどれかで、ab≧0, a(1-b)≧0。というわけで、ご質問は肯定的に解決。

[2]さらに。Oを原点とする直交座標系(x,y)を定めて、zが点(1,0), (0,1),(-1,0),(0,-1)である場合それぞれについて[1]をやれば、x軸の正方向、x軸の負方向、y軸の正方向、y軸の負方向、都合4つの単位ベクトルがそれぞれ「0以上の実数p,q,rが存在し、z=pu+qv+rw」という形で表せる。
　この準備をしておけば、任意のzについて、zがこの直交座標系の4つの象限のどれに入るかに応じて、x軸について正方向か負方向のどっちか、y軸について正方向か負方向のどっちか、を適切に選んで基底を構成し、zを成分表示すればよし。