1つの頂点から出る3辺の長さx,y,z ・・・この問題を

この問題をzを消去してx,y（y,zあるいはz,xでもいいのですが）
の式にして解きたいのですがうまくいきません。
x+y+z=6
xy+yz+zx=9
より z=6-x-y, xy+y(6-x-y)+(6-x-y)z=9
求めるｖ＝xyz=xy(6-x-y) → f(x)=-y{x^2-(6-y)x}
　　　　　　よって-y{x-（(6-y)/2）}^2 + {y(6-y)^2/４}
　　x=(6-y/2) の時　{y(6-y)^2/４}が最大値
　　ｙの範囲は０<y≦４
　これで増減表を作るとy=2の時最大値になって
　Vの最大値＝８になります。しかしy=2、x=2、z=2は
　成り立たないので不敵になってしまいます。

いろんな解答見るとｚ,yの2文字を消去してxyz＝ｘ(9-x(6-x))
にして解く方法、ｘｙｚ=vとして定数分離して3次方程式
とVとの交点をさぐるグラフで解く方法はわかるのですが
　記している方法でやりたいのですが、（何かおかしい？）
どなたか教えて頂けないでしょうか。
お願い致します。（答えは最大値V=4です）

質問者からの補足コメント

• ↓文字化け
  0<y≦4　y≠3　です。

    補足日時：2024/09/15 14:24

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/15 21:20

ごめん, #4 で「理解した」って書いたけど理解してなかった.

でちと考えたのだが, 最終的には
「x=(6-y/2) の時　{y(6-y)^2/４}が最大値」って書いてあるんだけどそれは本当ですか?
もっというと
そもそも x=(6-y)/2 っておけるんですか?
ってところに落ち着いた.

もともとの条件式
x+y+z = 6, xy+yz+zx = 9
は変数 3個に対して式が 2本あるので, 3個中 1個の変数の値を決めれば他の 2個の変数の値は (いくつかの候補で) 自動的に決まってしまう. だから, y の値によっては x=(6-y)/2 とできないことがありえる.

というより, そのようにできるのが y=4 (と 0) のときしかない. それ以外の (0 < y < 4 の) 場合には x=(6-y)/2 (=z) とすると xy+yz+zx≠9 となってしまうので, 「x=(6-y/2) 」自体がありえない. 従って「(そのとき) {y(6-y)^2/４}が最大値」ともいえないよ, と.

ただ, 少しゴニョゴニョしてみたんだけど, 結局のところ
ｚ,yの2文字を消去してxyz＝ｘ(9-x(6-x))
が一番簡単だと思うのだ. あなたの方法も, じっと見ていくと最後にはこの式が出てくる (遠回りだけど).

この回答へのお礼

本当ですね。確かに式の上ではx=(6-y)/2 になるけれど
立方体でxy+yz+zx=9という制限から
そうなるとは限らないということですね。
ただxy+yz+zx=9を使って何かyの範囲を正しく絞れることは
できないのでしょうかね~。この問題を初見て頭のいい人は
すぐ1次式にしたほうがいい、と考えつくのでしょうか。
しかし、もやもやが腑に落ちました。感謝いたします。

お礼日時：2024/09/15 21:37

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/15 21:35

x+y+z=6

xy+yz+zx=9
より
z=6-x-y
xy+y(6-x-y)+(6-x-y)x=9
xy+6y-xy-y^2+6x-x^2-xy=9
6y-y^2+6x-x^2-xy=9
6x-x^2-xy=y^2-6y+9
x(6-x-y)=(y-3)^2

(6-y)^2/4-{x+(y-6)/2}^2=(y-3)^2
(6-y)^2-4(3-y)^2=4{x+(y-6)/2}^2
0≦3(4-y)y=4{x+(y-6)/2}^2
0<y≦4

求める
v=xyz
v=xy(6-x-y)
v=yx(6-x-y)
↓
f(x)=-y{x^2-(6-y)x}
=-y{x-（(6-y)/2）}^2 + {y(6-y)^2/4}

x=(6-y)/2 の時

3(4-y)y=4{x+(y-6)/2}^2=0
だから
y=4
だから
y(6-y)^2/4=4(6-4)^2/4=4 が最大値

この回答へのお礼

なるほど。3(4-y)y=4{x+(y-6)/2}^2=0を導いて
y=4を出せば最大値4がでてきます。ありがとうございます。

お礼日時：2024/09/15 22:38

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/15 20:26

うん, 何がおかしいか理解した.

y の範囲を勘違いしている.

この回答へのお礼

ありがとうございます。多分ｙの範囲０<y≦4　ｙ≠3
だけではダメなような気がするのですが。

お礼日時：2024/09/15 20:55

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/15 20:20

x+y+z=6

xy+yz+zx=9
より
z=6-x-y
xy+y(6-x-y)+(6-x-y)x=9
xy+6y-xy-y^2+6x-x^2-xy=9
6y-y^2+6x-x^2-xy=9
6x-x^2-xy=y^2-6y+9
x(6-x-y)=(y-3)^2

(6-y)^2/4-{x+(y-6)/2}^2=(y-3)^2
(6-y)^2-4(3-y)^2=4{x-(6-y)/2}^2
3(4-y)y=4{x-(6-y)/2}^2≧0
0≦y≦4

v=xyz
v=xy(6-x-y)
v=yx(6-x-y)

↓x(6-x-y)=(y-3)^2だから

v=y(y-3)^2
v=y^3-6y^2+9y

v'=3y^2-12y+9=3(y^2-4+3)=3(y-1)(y-3)

y<1のときvは増加
v(1)=1(1-3)^2=4
1<y<3のときvは減少
3<y<4のときvは増加
v(4)=4(4-3)^2=4
∴
y=1またはy=4のとき最大値　v=4

この回答へのお礼

ありがとうございます。確かにv=yx(6-x-y)を
v=y^3-6y^2+9yに変換して、yの1次式にすればうまくいくのですが、v=yx(6-x-y)をxの2次式f(x)= -y{x^2(6-y)x}
としてこのまま解きたいのです。このままだと上に凸の
放物線、最大値　y(6-y)^2/４の3次式になり　微分すると
y=2の時最大、８になってしまうのですが、
どこが間違いなのかがわからないのです。

お礼日時：2024/09/15 20:54

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/09/15 14:58

1.

何をやってるかわからないので、単純に計算します。
まず、x=y=z は不適。
ラグランジュの未定計数法より
　f=xyz-λ(x+y+z-6)-μ(xy+yz+zx-9)
として
　fx=fy=fz=0 から
　yz-λ-μ(y+z)=xz-λ-μ(x+z)=xy-λ-μ(x+y)=0
λを消して
→ yz-μ(y+z)=xz-μ(x+z)=xy-μ(x+y)
→ (x-y)(z-μ)=(z-y)(x-μ)=(z-x)(y-μ)=0

2.
　x,y,zについて対称なので、始めの式を検討すればよい。つまり
ある(x,y,z)が解なら、x,y,zを入れ替えたものも解となる。
　x=y or z=μ

3.
　x=y とすると
　2x+z=6, x²+2xz=9 → x²-4x+3=0 → x=1 or 3
・x=1のとき、x=y=1, z=4 → V=4
・x=3のとき、x=y=3, z=0 で不適。

4.
　z=μ　とすると
　(z-y)(x-μ)=(μ-y)(x-μ)=0 → x=μ or y=μ
・y=μのとき、x+2μ=6, 2μx+μ²=9 → μ²-4μ+3=0
　　 → μ=1 or 3
・μ=1の時、y=z=1 → x=4 → V=4
・μ=3のとき、y=z=3 → x=0 で不適。

5.
結局　x=y=1 ,z=4 → V=4が解となる(x,y,zを入れ替えても解)。
なお、有界閉集合領域の連続関数Vは必ず最大最小を持ち、Vは微分
可能だから、それは上で求めた停留点(本質的に1つ)に一致する。

6.
もう少し、簡単になると思うのと、もっと簡便な方法がある気がする。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ラグランジュの未定計数法は少し
難しいですが、対称式であることを利用し1文字消去
して2変数に持ち込めます。

お礼日時：2024/09/15 15:31

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/15 14:06

少なくとも, 結果的に

xy+yz+zx=9
という拘束条件を無視しているのはおかしい.

この回答へのお礼

ありがとうございます。すいません省略してしまいましたが
０<y≦４（ｙ≠３）の時に拘束条件に入れているつもりなのですが、y=2も除外されるのでしょうか？増減表を書いて確かめると　y(6-y)^2/４ではy=2最大値のはずなんですが・・・

お礼日時：2024/09/15 14:20