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A 回答 (10件)
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No.10
- 回答日時：
No.8 です。
糸の張力が「重力 mg」方向を向くには（向きは逆向きですが）、振り子が「最下点」になるときです。
そのときには、
・天井との角度 α を初期位置として
・糸の長さを L として、天井と糸の角度が 90° になるときの高さの差
h = L - Lsin(α) ①
の「位置エネルギー」が「運動エネルギー」に変わります。
最下点での振り子運動の質点の速さを v とすれば
mhg = (1/2)mv^2
から、①を代入して
mgL[1 - sin(α)] = (1/2)mv^2
→ v^2 = 2gL[1 - sin(α)] ②
この速さでの「遠心力」は
f = mv^2 /L = 2mg[1 - sin(α)] ③
なので、そのときにつり合う「糸の張力 T」は
T = mg + f
= mg + 2mg[1 - sin(α)]
= 3mg - 2mgsin(α) ④
ですね。
極端な例として
・α = 90° なら（つまり、最初から最下点）
①より h=0
②より v=0 （振り子運動せずに静止）
③より f=0
④より T=mg （重力とつり合う）
になります。
・α = 30° なら
①より h=L/2
②より v^2 = gL → v=√(gL)
③より f=2mg
④より T=2mg
になります。
・α = 0° なら（つまり、初期位置は天井）
①より h=L
②より v^2 = 2gL → v=√(2gL)
③より f=mg
④より T=3mg
になります。
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No.9
- 回答日時：
No7です。
ちょっと補足。(b)は糸を切った直後なので、質点はまだ運動を開始していません。
振り子の速さをvとすると、糸の伸縮方向の式は
張力 - 重力の伸縮方向成分 = 向心力
なので
Tα - mgsinα= mv^2/r (r: 糸の長さ)
となりますが、 糸を切った直後では v = 0 なので
Tα = mgsinα
です。
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No.8
- 回答日時：
No.6 です。
「お礼」に書かれたことについて。＞Tasinとmgが釣り合わないのは接線方向に振り子の運動をしてるのにmgが釣り合うとその方向に運動しなくなるからダメということですか？
#7 さんも書かれているように（#3 の図にも示したように）、下記ということです。
「その方向に運動しなくなるからダメ」というは逆で、「つり合わないのでその方向に運動する」というのが物理的な見方です。
・糸は伸びないので、「重力の半径方向の成分：mgsin(α)」と「糸の張力」とがつり合う。そのため、糸の長さ方向（半径方向）には運動しない。
（このときの「糸の張力」は、(a) の張力 Tα とは異なる。なので、#3 ではそれを Tα' としている）
・「重力の接線方向の成分：mgcos(α)」はつり合う相手がなく、振り子運動の源となる。
（つり合えば静止するが、つり合わないので接線方向に運動する）
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No.7
- 回答日時：
(b)では質点は左側の糸により振り子として運動します。
糸が全く伸縮しないとすると、質点は糸の伸縮方向へは運動出来ないので
張力と伸縮方向の重力の分力は常に釣り合っていなければなりません。
Tαはこのような束縛運動を支える束縛力で、瞬時に必要な大きさに変化します。
よって
Tα=mgcos(90°―α)=mgsinα
90°ーαは重力方向と糸の伸縮方向(右下への方向)との角度です。
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No.6
- 回答日時：
No.5 です。
「お礼」に書かれたことについて。＞振り子の問題を考える時基本的には張力を分解することはなく、接線方向をXY座標としてとって考えるかんじですか？
いいえ、ふつうに「水平を x 軸、鉛直を y 軸」にすればよいです。
通常は「鉛直線からの振れ角」を θ としますが、問題の場合は「天井（水平線）からの角度」を使っていますね。
（なので、下記のリンク先と #3 とは sin、cos の関係が逆になっています）
単振り子の解き方
↓
https://rikeilabo.com/pendulum-movement
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tan …
https://www.try-it.jp/chapters-8001/sections-830 …
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …
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この回答へのお礼
お礼日時：2024/10/16 09:59
Tasinとmgが釣り合わないのは接線方向に振り子の運動をしてるのにmgが釣り合うとその方向に運動しなくなるからダメということですか？
No.4
- 回答日時：
右の糸を切ったら質点はどの方向に動くでしょうか。
真下、ではありません。
真下に落ちるためには糸の長さが伸びる必要があります。この問題では糸の長さが変わらないと考えてよいので、糸が緩む方向に力が働かない限り質点と糸が天井とつながっている点の距離は変わらないように動くのです。
つまり、質点はαの角の先端を中心とした円弧上を動きます。
円弧上を動く、ということは半径方向の加速度は常に0であることが言える→
合力の半径方向の合力は0であることが言えます。
質点に働く力は糸の張力Taと重力mgだけであり、張力の半径方向の力の大きさはTaそのもの、mgの半径方向の力の大きさはmgと半径方向のなす角=90°-αであることから mg*cos(90°-α)=mg*sin(α)となることから力の釣り合いから
Ta = mg *sin(α)
となります。
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No.3
- 回答日時：
＞Tasin=mgにならないのはなぜですか？
sin の「角度」はどこの角度を指しますか？
もし「角度が α」ということであれば
Tα･sin(α) ≠ mg
です。
下記のように、右の糸を切った後の左の糸の張力 Tα' は
Tα' = mgsin(α)
になります。
(a) の状態では、重力 mg と、「張力 Tα と Tβ の合力」とがつり合って静止しています。
(b) は、この状態から「右の糸を切った瞬間（あるいは直後）」のことを指すので、「張力 Tβ」は「0」になり、質点には
(i) 鉛直下向きに重力 mg
(ii) 左の糸の張力 Tα'
(iii) 質点を左の糸で「振り子運動」させる力
の3つの力が働くことになります。
(iii) は、(a) のときには「張力 Tβ」とつり合っていた力が、右の糸を切ることで「質点を運動させる」力に変わります。ただし、「切れる前の右の糸の方向」ではなく、「左の糸」を半径とする円の「接線方向」の力になるので、向きと大きさがちょっと変わります。
その「変わった分」が、 左の糸の張力に加算されて Tα → Tα' に変化します。
下図から分かるように、このときには
Tα' = mgsin(α) ①
振り子運動の回転力 = mgcos(α)
になります。
もともとも (a) では
Tα･sin(α) + Tβ･sin(β) = mg
だったので、
Tα = [mg - Tβ･sin(β)]/sin(α) ②
です。
これが①に変わるので、その倍率は Tα'/Tα で
mgsin(α) / {[mg - Tβ･sin(β)]/sin(α)}
= mgsin^2(α) / [mg - Tβ･sin(β)]
もともとの (a) での Tα は、もう一方の糸の張力 Tβ や角度 β を含めて決まりますから、倍率の中には Tβ や β が含まれる形になります。
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No.2
- 回答日時：
Taの垂直成分は、=Ta・sin(a) になります。
右の糸を切った直後、つまり、t=0の瞬間は、
Taの垂直成分=Ta・sin(a)＜mgのままです。
右の糸を切って時間が十分に経過した後は、
Ta=mg に落ち着きます。
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No.1
- 回答日時：
Tasin=mgになりますよ。
右の糸を切って1本の糸で吊るのであればTa＝ｍｇであることは明らか、また糸が鉛直方向に垂れるためα＝90度であることも明らかです。
∴Tasin90=mg
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