この問題で動径方向に釣り合いの式を立てるとmrw^2+mgcos-n=0になりますか？ またカッコ2

この問題で動径方向に釣り合いの式を立てるとmrw^2+mgcos-n=0になりますか？
またカッコ2の運動方程式とこの式が似てるのはなんでですか？

質問者からの補足コメント

• この小球が半球の面から落ちる時の角度θがカッコ2の式のn=0の時なのはなぜですか？力の釣り合いの式から考えるのではないんですか？

    補足日時：2024/10/22 00:56

• mrω^2は内向きでmgcosも内向きでnが外向きなのになぜ-mrω^2=-mgcos+nになるのですか？

    補足日時：2024/10/22 01:20

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/22 08:05

>この小球が半球の面から落ちる時の角度θがカッコ2の式の

>n=0の時なのはなぜですか

円運動を保つには
向心力=mrω^2=mgcosθ-n ①
が成立している必要がありますが、
θが増えるにつれmgcosθは減り
ωは増えるためmrω^2も増えてゆきます。

垂直抗力 n ≧0なので
mrω^2=mgcosθ となった時点で垂直抗力はゼロになると
もうこれ以上①を維持できません。

質点を半球上に留めるために必要な力(mrω^2)よりmgcosθが
小さくなり、質点は半球から離れます。

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/22 21:15

No.7 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞ma=Fの運動方程式を保っている状態が円運動をする条件でnはそこに含まれてるからnが0になるのはダメということですか？

おっしゃっていることが不明です。

「nが0になるのはダメ」とは？　何が「ダメ」なのですか？


単純に、小球が半球面を押す力の反作用が n ですから、これが「ゼロ」になるということは「小球が半球面を押す力がゼロ」で、ふわっと浮き上がるということです。

mrω^2 = mgcosθ - n
という関係式からは
　n = mgcosθ - mrω^2
であり、角速度 ω が大きくなって mrω^2が大きくなり、かつ θ が大きくなって cosθ が小さくなれば、いつしか
　mgcosθ = mrω^2
つまり
　n = 0
となって、それ以降は「円運動」が成り立たなくなるということです。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/22 10:20

No.4 です。

「お礼」「補足」に書かれたことについて。

＞nとプラスとマイナス逆でした

はい。
だったら

　-mrω^2 ＝ -mgcosθ + n

または

　mrω^2 ＝ mgcosθ - n

ということで、#2、#4 と一致しますね。

＞mrω^2は内向きでmgcosも内向きでnが外向きなのになぜ-mrω^2=-mgcos+nになるのですか？

本来は「ベクトル」であるものを、「径方向１次元」で考えて、一方を「正」、逆向きを「負」として表記しています。
「外向き」を正とすれば
・向心力： -mrω^2
・小球に働く外力：-mgcosθ + n
であり、これらが等しいので
　-mrω^2 = -mgcosθ + n

「内向き」を正とすれば
・向心力： mrω^2
・小球に働く外力：mgcosθ - n
であり、これらが等しいので
　mrω^2 = mgcosθ - n

いずれも「向きの違う n」だけがが逆符号になります。

質問者さんは「つり合いの式」と書いていますが、これは「合力がゼロ」ではなく、
　向心力 = 外力の合力
という式です。
「合力がゼロ」だったら「等速直線運動」をしますが、ここでは「球面に沿った円運動」つまり「半径方向に加速度運動」をしています。
　

見方を変えて、円運動する小球上の座標系で考えれば（小球上で静止している）、自転する地球上で考えるのと同じで
・遠心力：上向きに mrω^2
・垂直抗力：半球面が下から押す力：上向きに n
・重力（半球面を押す力）：下向きに mgcosθ
なので、そのつり合いは
　mrω^2 + n = mgcosθ

いずれも同じ式になります。


＞この小球が半球の面から落ちる時の角度θがカッコ2の式のn=0の時なのはなぜですか？力の釣り合いの式から考えるのではないんですか？

上に書いたように、そもそもつり合ってはいないので、「つり合う」という観点からは求まりません。

上に書いた「小球上の座標系」（自転する地球上で考えるのと同じ）で、遠心力がどんどん大きくなって「垂直抗力：半球面が下から押す力」がゼロになったときに「ふわっ」と浮き上がります。（地球上だと、自転速度が相当速くならないとそうなりませんが、国際宇宙ステーションなどではその条件になります）
上の向心力で考えても同じで、「垂直抗力がゼロになる」ことが「浮き上がる」（半球面を離れる）条件になります。

この回答へのお礼

ma=Fの運動方程式を保っている状態が円運動をする条件でnはそこに含まれてるからnが0になるのはダメということですか？

お礼日時：2024/10/22 20:41

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/22 07:46

>mrω^2は内向きでmgcosも内向きでnが外向きなのに

>なぜ-mrω^2=-mgcos+nになるのですか？

向心力=重カ+垂直抗力。
動径外向きを正とすると
-mrω^2=-mgcosθ+n
で
向心力は内向
重力は内向き
垂直抗力は外向きで
そのままの式になってます。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/22 00:36

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞カッコ2の答えが-mrω^2=-mgcos-nになるのですが

それは間違いでしょう。
#2 のように

　mrω^2 ＝ mgcosθ - n

です。

この回答へのお礼

nとプラスとマイナス逆でした

お礼日時：2024/10/22 00:53

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/21 21:40

なりません。

向心力=mrω^2=mgcosθ-n → mrω^2-mgcosθ+n=0
これはrが変化しない円運動の運動方程式なので(2)です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/21 19:48

No.1 です。

失礼、お示しの式は「符号」が違いますね。

「mrω^2」を向心力だとすれば

mrω^2 ＝ mgcosθ - n

だし、「遠心力」だとすると

mgcosθ = mrω^2 + n

ですから

　mgcosθ - mrω^2 - n = 0

ですね。

この回答へのお礼

カッコ2の答えが-mrω^2=-mgcos-nになるのですがそれがよくわからないです
あとこの小球が半円上から落ちるときの条件がカッコ2のnの値が0になるのはなぜか教えて欲しいです
自分は釣り合いの式のnだと思っていました

お礼日時：2024/10/21 23:13

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/21 19:40

＞この問題で動径方向に釣り合いの式を立てるとmrw^2+mgcos-n=0になりますか？

mrω^2 + mgcosθ - n = 0
ですね？

質点が半球面上にある間はその式が成り立ちます。
それが成り立つ「垂直抗力」の大きさです。

＞またカッコ2の運動方程式とこの式が似てるのはなんでですか？

質点が半球面上にある間は、半径方向には運動しない、つまり径方向加速度がゼロなので、その式が運動方程式そのものになるからです。
つり合いの式は、加速度がゼロのときの運動方程式と同じですから。